二次方程式x²-(k+4)x-k÷2+10=0において、1≦x≦4の範囲に解が少なくとも1つあるとき、kの範囲を求めよ。

二次方程式 \( x^2 - (k+4)x - \frac{k}{2} + 10 = 0 \) において、 \( 1 \leq x \leq 4 \) の範囲に解が少なくとも1つあるときの \( k \) の範囲を求める問題です。

この問題を解くためには、次の手順に従います。

### 1. 方程式を整理する
まず、二次方程式を整理します。  
\[
x^2 - (k+4)x - \frac{k}{2} + 10 = 0
\]
この方程式を標準形 \( ax^2 + bx + c = 0 \) に合わせると、係数は以下のようになります：
\[
a = 1, \quad b = -(k+4), \quad c = -\frac{k}{2} + 10
\]

### 2. 判別式を確認する
二次方程式が実数解を持つためには、判別式 \( D = b^2 - 4ac \) が0以上である必要があります。
\[
D = [-(k+4)]^2 - 4 \times 1 \times \left(-\frac{k}{2} + 10\right)
\]
\[
D = (k+4)^2 + 2k - 40
\]
\[
D = k^2 + 8k + 16 + 2k - 40
\]
\[
D = k^2 + 10k - 24
\]
\( D \geq 0 \) から、方程式が実数解を持つための条件は次のようになります：
\[
k^2 + 10k - 24 \geq 0
\]

### 3. 平方完成して解の範囲を求める
まず、この二次不等式を解きます：
\[
k^2 + 10k - 24 = 0
\]
解の公式を使って解を求めます：
\[
k = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \times 1 \times 24}}{2 \times 1}
\]
\[
k = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2}
\]
\[
k = \frac{-10 \pm 14}{2}
\]
\[
k = 2 \quad \text{または} \quad k = -12
\]
したがって、不等式 \( k^2 + 10k - 24 \geq 0 \) は、次の範囲で満たされます：
\[
k \leq -12 \quad \text{または} \quad k \geq 2
\]

### 4. 解が \( 1 \leq x \leq 4 \) に存在する条件を考慮する
次に、解の範囲 \( 1 \leq x \leq 4 \) を考慮して、\( k \) の条件を求めます。この範囲内で解が存在するためには、次の条件を確認します：

\[
f(1) \times f(4) \leq 0
\]

具体的に、\( f(x) = x^2 - (k+4)x - \frac{k}{2} + 10 \) の値を \( x = 1 \) および \( x = 4 \) に代入して求めます。

\[
f(1) = 1^2 - (k+4)\times 1 - \frac{k}{2} + 10 = 1 - k - 4 - \frac{k}{2} + 10
\]
\[
f(1) = 7 - \frac{3k}{2}
\]

\[
f(4) = 4^2 - (k+4)\times 4 - \frac{k}{2} + 10 = 16 - 4k - 16 - \frac{k}{2} + 10
\]
\[
f(4) = -4k - \frac{k}{2} + 10
\]
\[
f(4) = -\frac{9k}{2} + 10
\]

条件 \( f(1) \times f(4) \leq 0 \) より：
\[
(7 - \frac{3k}{2}) \times (-\frac{9k}{2} + 10) \leq 0
\]

この不等式を解くことで、範囲内に解が存在する \( k \) の範囲を決定できます。まず、この不等式を解きます。

1. \( k = 2 \) で計算してみると：
\[
f(1) = 7 - \frac{3 \times 2}{2} = 4 \quad \text{で正}
\]
\[
f(4) = -\frac{9 \times 2}{2} + 10 = 1 \quad \text{で正}
\]

2. \( k = -12 \) で計算してみると：
\[
f(1) = 7 - \frac{3 \times (-12)}{2} = 25 \quad \text{で正}
\]
\[
f(4) = -\frac{9 \times (-12)}{2} + 10 = 64 \quad \text{で正}
\]

結論として、\( 2 \leq k \leq 4 \) の範囲であることがわかります。

### 最終解答
\( 2 \leq k \leq 4 \) の範囲で \( 1 \leq x \leq 4 \) の範囲に少なくとも1つの解が存在します。

質問があれば教えてください。さらに学習を進めるための関連する質問をいくつかご紹介します。

1. 二次方程式の解の公式とは何ですか？
2. 判別式の役割とは何ですか？
3. 二次方程式の解が実数になる条件を説明してください。
4. 不等式の解法に関する応用問題を教えてください。
5. 二次関数のグラフとその解について説明してください。

**Tip:** 二次方程式において、判別式が0の場合は重解を持ち、正のときは異なる2つの実数解を持ちます。

Solve the quadratic equation x² - (k+4)x - k/2 + 10 = 0 with a focus on finding the range of k where at least one solution exists in the range 1≦x≦4. This problem explores quadratic equations, the discriminant, and inequalities. Suitable for high school students (Grades 10-12).

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