Um eine Funktion zu finden, die durch die Punkte $(-1, 6)$, $(1, 2)$ und $(2, 3)$ verläuft, können wir annehmen, dass es sich um eine quadratische Funktion der Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ handelt. Die Aufgabe besteht darin, die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ zu bestimmen, indem wir die gegebenen Punkte in die Gleichung einsetzen.

Schritt 1: Aufstellen der Gleichungssysteme

Setze die Punkte in die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ ein:

1. Für den Punkt $(-1, 6)$: $a(-1)^2 + b(-1) + c = 6 \quad \Rightarrow \quad a - b + c = 6$

2. Für den Punkt $(1, 2)$: $a(1)^2 + b(1) + c = 2 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 2$

3. Für den Punkt $(2, 3)$: $a(2)^2 + b(2) + c = 3 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b + c = 3$

Schritt 2: Lösen des Gleichungssystems

Wir haben nun das Gleichungssystem:

1. $a - b + c = 6$
2. $a + b + c = 2$
3. $4a + 2b + c = 3$

Lösen wir dieses System:

1. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: $(a - b + c) - (a + b + c) = 6 - 2 \quad \Rightarrow \quad -2b = 4 \quad \Rightarrow \quad b = -2$

2. Setze $b = -2$ in die zweite Gleichung ein: $a - 2 + c = 2 \quad \Rightarrow \quad a + c = 4 \quad \text{(Gleichung 4)}$

3. Setze $b = -2$ in die dritte Gleichung ein: $4a + 2(-2) + c = 3 \quad \Rightarrow \quad 4a - 4 + c = 3 \quad \Rightarrow \quad 4a + c = 7 \quad \text{(Gleichung 5)}$

4. Subtrahiere die Gleichung 4 von der Gleichung 5: $(4a + c) - (a + c) = 7 - 4 \quad \Rightarrow \quad 3a = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 1$

5. Setze $a = 1$ in Gleichung 4 ein: $1 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad c = 3$

Schritt 3: Zusammenfassung

Die gesuchte Funktion lautet: $f(x) = x^2 - 2x + 3$

Möchten Sie die Lösung detaillierter erklärt haben oder haben Sie weitere Fragen?

Hier sind 5 verwandte Fragen, die auf dieser Information aufbauen:

1. Wie überprüft man, ob eine quadratische Funktion durch gegebene Punkte verläuft?
2. Wie bestimmt man die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?
3. Was ist der Unterschied zwischen der Scheitelpunktform und der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion?
4. Wie löst man ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten effizient?
5. Welche Bedeutung haben die Koeffizienten einer quadratischen Funktion?

Tipp: Bei quadratischen Funktionen können die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ Hinweise auf die Form und die Position des Graphen geben, z. B. ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.