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La question 1 demande de montrer que, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) \leq \frac{1}{4} \), où la fonction \( f(x) \) est définie comme \( f(x) = x(1 - x) \).

Pour résoudre cette question, commençons par réécrire la fonction \( f(x) = x(1 - x) \), qui est un polynôme du second degré. Cela donne :
\[
f(x) = x - x^2
\]
Cette fonction est une parabole orientée vers le bas, car le coefficient de \( x^2 \) est négatif (-1).

### Étape 1 : Identifier le sommet de la parabole

La forme générale d'une parabole est donnée par \( ax^2 + bx + c \). Ici, nous avons \( a = -1 \) et \( b = 1 \). Le sommet de cette parabole se trouve à :
\[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2}
\]
Cela signifie que la fonction atteint un maximum en \( x = \frac{1}{2} \).

### Étape 2 : Calculer le maximum

Substituons \( x = \frac{1}{2} \) dans l'expression de \( f(x) \) pour trouver la valeur maximale :
\[
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]
Donc, \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \), ce qui est la valeur maximale atteinte par la fonction.

### Étape 3 : Conclusion

Puisque la parabole est orientée vers le bas, la fonction \( f(x) \) est toujours inférieure ou égale à \( \frac{1}{4} \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). Cela prouve que \( f(x) \leq \frac{1}{4} \).

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Est-ce que vous avez des questions supplémentaires ou besoin de détails supplémentaires ?

Voici 5 questions relatives :
1. Quelle est la nature de la fonction \( f(x) = x(1 - x) \) ?
2. Pourquoi la parabole est-elle orientée vers le bas pour cette fonction ?
3. Comment trouver le sommet d'une fonction quadratique ?
4. Pourquoi la valeur maximale est-elle atteinte en \( x = \frac{1}{2} \) ?
5. Quelle est la symétrie de la fonction \( f(x) \) par rapport à son sommet ?

**Conseil** : Lorsque vous travaillez avec des polynômes quadratiques, le sommet donne souvent des informations cruciales sur les maxima ou minima de la fonction.

Montrer que, pour tout x ∈ R : f(x) ≤ 1/4

In this exercise, learn how to prove that for all x ∈ R, f(x) ≤ 1/4 by analyzing the quadratic function f(x) = x(1 - x). The solution includes finding the vertex of the parabola and calculating its maximum value. Ideal for high school students studying quadratic functions.

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