La question 1 demande de montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq \frac{1}{4}$, où la fonction $f(x)$ est définie comme $f(x) = x(1 - x)$.

Pour résoudre cette question, commençons par réécrire la fonction $f(x) = x(1 - x)$, qui est un polynôme du second degré. Cela donne : $f(x) = x - x^2$ Cette fonction est une parabole orientée vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif (-1).

Étape 1 : Identifier le sommet de la parabole

La forme générale d'une parabole est donnée par $ax^2 + bx + c$. Ici, nous avons $a = -1$ et $b = 1$. Le sommet de cette parabole se trouve à : $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$ Cela signifie que la fonction atteint un maximum en $x = \frac{1}{2}$.

Étape 2 : Calculer le maximum

Substituons $x = \frac{1}{2}$ dans l'expression de $f(x)$ pour trouver la valeur maximale : $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Donc, $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$, ce qui est la valeur maximale atteinte par la fonction.

Étape 3 : Conclusion

Puisque la parabole est orientée vers le bas, la fonction $f(x)$ est toujours inférieure ou égale à $\frac{1}{4}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cela prouve que $f(x) \leq \frac{1}{4}$.

Est-ce que vous avez des questions supplémentaires ou besoin de détails supplémentaires ?

Voici 5 questions relatives :

1. Quelle est la nature de la fonction $f(x) = x(1 - x)$ ?
2. Pourquoi la parabole est-elle orientée vers le bas pour cette fonction ?
3. Comment trouver le sommet d'une fonction quadratique ?
4. Pourquoi la valeur maximale est-elle atteinte en $x = \frac{1}{2}$ ?
5. Quelle est la symétrie de la fonction $f(x)$ par rapport à son sommet ?

Conseil : Lorsque vous travaillez avec des polynômes quadratiques, le sommet donne souvent des informations cruciales sur les maxima ou minima de la fonction.