2x²-kx+k-1=0, dan a²+b² =4, maka nilai k adalah…

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa langkah. Misalkan \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \( 2x^2 - kx + k - 1 = 0 \). Berdasarkan sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar:

1. Jumlah akar-akar (\( x_1 + x_2 \)) diberikan oleh:
   \[
   x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{k}{2}
   \]
   
2. Hasil kali akar-akar (\( x_1 \times x_2 \)) diberikan oleh:
   \[
   x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k - 1}{2}
   \]

Karena diberikan bahwa \( a^2 + b^2 = 4 \), dan kita bisa menganggap \( x_1 = a \) dan \( x_2 = b \), maka:
\[
a^2 + b^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2
\]
Dari rumus identitas kuadrat, kita tahu bahwa:
\[
(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2
\]
Substitusi nilai-nilai yang diketahui:
\[
\left(\frac{k}{2}\right)^2 = 4 + 2 \times \frac{k - 1}{2}
\]
Menyederhanakan persamaan:
\[
\frac{k^2}{4} = 4 + (k - 1)
\]
\[
\frac{k^2}{4} = k + 3
\]
Mengalikan kedua sisi dengan 4:
\[
k^2 = 4k + 12
\]
Memindahkan semua ke satu sisi:
\[
k^2 - 4k - 12 = 0
\]
Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat ini dengan menggunakan rumus kuadrat:
\[
k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Dengan \( a = 1 \), \( b = -4 \), dan \( c = -12 \), kita dapatkan:
\[
k = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}
\]
Sehingga, kita dapatkan dua nilai untuk \( k \):
\[
k_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6 \quad \text{atau} \quad k_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2
\]

Maka, nilai \( k \) yang mungkin adalah **6** atau **-2**.

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? 

Berikut 5 pertanyaan yang berhubungan dengan masalah ini:
1. Bagaimana kita menentukan bahwa \( a^2 + b^2 = 4 \) terkait dengan akar-akar persamaan kuadrat?
2. Apa langkah berikutnya jika persamaan kuadrat yang dihasilkan memiliki akar kompleks?
3. Bagaimana metode substitusi digunakan untuk memecahkan masalah ini?
4. Apa arti geometris dari nilai \( a^2 + b^2 = 4 \) dalam konteks ini?
5. Bagaimana jika kita diberi persamaan kuadrat dengan koefisien non-konstanta?

**Tip:** Dalam persamaan kuadrat, rumus jumlah dan hasil kali akar sangat berguna untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan sifat-sifat akar.

Learn how to solve the quadratic equation 2x²-kx+k-1=0 given a²+b² =4, and find the value of k. This problem involves using Vieta's formulas and the properties of quadratic equations. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation