设线段 $AB$ 的两个端点分别为 $A$ 和 $B$，中点 $O$ 在 $AB$ 的中垂线上。我们将 $AB$ 的中点 $O$ 设为坐标原点，$A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(-1, 0)$ 和 $(1, 0)$。

设 $P$ 点在中垂线 $l$ 上，且 $P$ 点坐标为 $(0, x)$。

首先计算 $PA$ 和 $PB$ 的距离： $PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{1 + x^2}$ $PB = \sqrt{(0 - 1)^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{1 + x^2}$

根据题意，点 $Q$ 是 $PA$ 和 $PB$ 的垂线交点。我们知道， $OQ$ 是 $PA$ 和 $PB$ 的公垂线。

计算 $OQ$： 设 $OQ$ 为 $y$，$Q$ 点的坐标为 $(0, y)$。

由于 $Q$ 点在 $PA$ 和 $PB$ 的垂线上，我们可以利用直角三角形的性质计算 $y$。在 $\triangle OPA$ 中，$OP$ 为斜边，$OQ$ 为其上的垂线段： $OQ = y = \frac{PA \cdot PB}{\sqrt{(PA+PB)^2 - AB^2}} = \frac{1+x^2}{\sqrt{(1+x^2) + (1+x^2) - 2}}$

由于 $PA = PB = \sqrt{1+x^2}$，且 $AB = 2$，则 $OQ = y = \frac{1+x^2}{\sqrt{2(1+x^2) - 2}} = \frac{1+x^2}{\sqrt{2(x^2)}}$

整理得 $y = \frac{1+x^2}{\sqrt{2}x} = \frac{1+x^2}{\sqrt{2}x}$

因此，$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为： $y = \frac{1+x^2}{\sqrt{2}x}$

是否需要进一步的详细解释或有其他问题？

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小贴士：在几何题中，利用对称性和坐标系可以简化计算过程。