线段AB长度为2，AB的中垂线l交AB为O，l上一点P（和O不重合），设OP=x，过A和B分别作PA和PB的垂线交于Q，设OQ=y，求y关于x的函数表达式。 

设线段 \( AB \) 的两个端点分别为 \( A \) 和 \( B \)，中点 \( O \) 在 \( AB \) 的中垂线上。我们将 \( AB \) 的中点 \( O \) 设为坐标原点，\( A \) 和 \( B \) 的坐标分别为 \( (-1, 0) \) 和 \( (1, 0) \)。

设 \( P \) 点在中垂线 \( l \) 上，且 \( P \) 点坐标为 \( (0, x) \)。

首先计算 \( PA \) 和 \( PB \) 的距离：
\[
PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{1 + x^2}
\]
\[
PB = \sqrt{(0 - 1)^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{1 + x^2}
\]

根据题意，点 \( Q \) 是 \( PA \) 和 \( PB \) 的垂线交点。我们知道， \( OQ \) 是 \( PA \) 和 \( PB \) 的公垂线。

计算 \( OQ \)：
设 \( OQ \) 为 \( y \)，\( Q \) 点的坐标为 \( (0, y) \)。

由于 \( Q \) 点在 \( PA \) 和 \( PB \) 的垂线上，我们可以利用直角三角形的性质计算 \( y \)。在 \(\triangle OPA \) 中，\( OP \) 为斜边，\( OQ \) 为其上的垂线段：
\[
OQ = y = \frac{PA \cdot PB}{\sqrt{(PA+PB)^2 - AB^2}} = \frac{1+x^2}{\sqrt{(1+x^2) + (1+x^2) - 2}}
\]

由于 \( PA = PB = \sqrt{1+x^2} \)，且 \( AB = 2 \)，则
\[
OQ = y = \frac{1+x^2}{\sqrt{2(1+x^2) - 2}} = \frac{1+x^2}{\sqrt{2(x^2)}}
\]

整理得
\[
y = \frac{1+x^2}{\sqrt{2}x} = \frac{1+x^2}{\sqrt{2}x}
\]

因此，\( y \) 关于 \( x \) 的函数表达式为：
\[
y = \frac{1+x^2}{\sqrt{2}x}
\]

是否需要进一步的详细解释或有其他问题？

以下是五个相关问题供您选择：
1. 如何求点到直线的距离？
2. 如何求直线的斜率？
3. 如何求两个点之间的距离？
4. 如何求直线与圆的交点？
5. 如何求二次函数的顶点？

小贴士：在几何题中，利用对称性和坐标系可以简化计算过程。

Explore how to calculate OQ in a triangle geometry problem involving perpendiculars and triangle properties. This problem uses concepts from coordinate geometry, including the distance formula and the Pythagorean theorem. Suitable for Grades 10-12 students.

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