برای حل قسمت الف این سوال، ابتدا مفهوم کلی را بررسی می‌کنیم:

در اینجا $x_p(t)$ که یک سیگنال پالسی است، از طریق جمع بی‌نهایت پالسی‌های انتقال یافته $p(t - kT_s)$ با وزن‌های متغیر $A_0[1 + \mu x(kT_s)]$ ساخته شده است.

• گام اول: با توجه به اینکه سیگنال $x_p(t)$ با جمع بی‌نهایت پالسی‌های انتقال یافته تعریف شده است، طیف آن به فرمول تبدیل فوریه $x_p(t)$ نیاز دارد.
• گام دوم: چون $p(t)$ سیگنال پایه است، طیف آن $P(f)$ نقش مهمی در محاسبه $X_p(f)$ دارد.

روش حل برای قسمت (الف):

1. فرمول کلی سیگنال $x_p(t)$: $x_p(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty A_0[1 + \mu x(kT_s)] p(t - kT_s)$

2. طیف سیگنال پالسی: با استفاده از خاصیت تبدیل فوریه، جمع بی‌نهایت جابجایی‌های پالسی در حوزه فرکانس به صورت ضرایب تکرار $1/T_s$ تکرار می‌شود: $X_p(f) = \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^\infty P(f - n/T_s)$

   در اینجا $P(f)$ تبدیل فوریه سیگنال پایه $p(t)$ است.

3. ضریب مدولاسیون و $\mu x(kT_s)$: ضریب $\mu x(kT_s)$ روی ضرایب طیف تأثیر می‌گذارد. به عبارت دیگر:

   • $A_0$ دامنه پایه است.
   • $\mu x(kT_s)$ تغییرات کوچک مدولاسیون را روی طیف فرکانسی اعمال می‌کند.

4. خروجی نهایی: برای پاسخ دقیق‌تر، نیاز است که $p(t)$ تعریف شده در قسمت بعد (ب) بررسی شود. اگر $p(t)$ یک پالسی مربعی باشد (همان‌طور که در قسمت ب آمده است)، تبدیل فوریه آن به صورت $\text{sinc}$ خواهد بود: $P(f) = T_s \cdot \text{sinc}(fT_s)$

5. با جایگذاری در فرمول بالا، می‌توان طیف $X_p(f)$ را با این اطلاعات به دست آورد.

آیا می‌خواهید قسمت‌های عددی یا مثال خاصی از این فرآیند را بررسی کنیم؟

سوالات مرتبط:

1. تعریف دقیق تابع $p(t)$ چیست و چگونه طیف آن را پیدا می‌کنیم؟
2. اگر $x(t)$ سیگنالی سینوسی باشد، $\mu x(kT_s)$ چگونه محاسبه می‌شود؟
3. رابطه بین $T_s$ و $f_m$ چگونه طیف را تحت تأثیر قرار می‌دهد؟
4. خاصیت $\text{sinc}$ چگونه بر فرکانس‌های بالاتر در طیف تأثیر می‌گذارد؟
5. در چه شرایطی $\mu$ می‌تواند طیف $X_p(f)$ را به شدت تغییر دهد؟

نکته:

اطمینان حاصل کنید که رابطه $1/T_s$ با $f_m$ به درستی برقرار باشد تا تداخل طیف‌ها رخ ندهد.