Setiap bilangan memiliki konjugat. Konjugat digunakan untuk membuktikan bentuk umum dari bilangan kompleks dengan menggunakan untuk Z= a+ib.
Buktikan bahwa Z berlaku Re(Z) = 1/2 dan im(Z) = 1/2i (Z-Z)

Untuk membuktikan bahwa Re(Z) dan Im(Z) dapat dinyatakan dalam bentuk \( \frac{Z + \overline{Z}}{2} \) dan \( \frac{Z - \overline{Z}}{2i} \), kita mulai dengan definisi bilangan kompleks \( Z = a + ib \), di mana \( a \) adalah bagian real dan \( b \) adalah bagian imajiner.

1. **Konjugat Bilangan Kompleks**:
   Konjugat dari bilangan kompleks \( Z \) adalah \( \overline{Z} = a - ib \).

2. **Menentukan Bagian Real dari Z**:
   Untuk menemukan bagian real (\( \text{Re}(Z) \)), kita gunakan:
   
   \[
   \text{Re}(Z) = \frac{Z + \overline{Z}}{2}
   \]
   
   Substitusi \( Z = a + ib \) dan \( \overline{Z} = a - ib \):

   \[
   \text{Re}(Z) = \frac{(a + ib) + (a - ib)}{2} = \frac{2a}{2} = a
   \]

3. **Menentukan Bagian Imajiner dari Z**:
   Untuk menemukan bagian imajiner (\( \text{Im}(Z) \)), kita gunakan:

   \[
   \text{Im}(Z) = \frac{Z - \overline{Z}}{2i}
   \]

   Substitusi \( Z = a + ib \) dan \( \overline{Z} = a - ib \):

   \[
   \text{Im}(Z) = \frac{(a + ib) - (a - ib)}{2i} = \frac{2ib}{2i} = b
   \]

4. **Hubungan dengan Pernyataan**:
   Dari langkah-langkah di atas, kita tahu bahwa:

   - \( \text{Re}(Z) = \frac{Z + \overline{Z}}{2} \)
   - \( \text{Im}(Z) = \frac{Z - \overline{Z}}{2i} \)

Ini membuktikan hubungan yang diminta dalam soal. Kesimpulannya, bagian real dan imajiner dari \( Z \) dapat diekspresikan menggunakan \( Z \) dan konjugatnya \( \overline{Z} \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

**Pertanyaan Terkait**:
1. Bagaimana cara menentukan modulus dari bilangan kompleks?
2. Apa perbedaan antara konjugat dan invers dari bilangan kompleks?
3. Bagaimana cara menggambar bilangan kompleks di bidang Argand?
4. Bagaimana cara menentukan argument dari bilangan kompleks?
5. Bagaimana penerapan konjugat dalam operasi pembagian bilangan kompleks?

**Tip**: Memahami konjugat bilangan kompleks sangat penting untuk menyederhanakan pembagian bilangan kompleks dan operasi lainnya yang melibatkan bilangan kompleks!

Learn how to prove the real and imaginary parts of a complex number Z using its conjugate. This problem demonstrates the relationship between the real and imaginary parts of Z through the formulas Re(Z) = (Z + \overline{Z}) / 2 and Im(Z) = (Z - \overline{Z}) / 2i. Suitable for high school students studying complex numbers.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation