misal x_1,x_2,...,x_n bebas linier di R^n. jika matriks invertibel, tunjukkan bahwa A_x1, A_x2,...,A_xn juga bebas linier di R^n

Untuk menunjukkan bahwa \( A x_1, A x_2, \dots, A x_n \) juga bebas linier di \( \mathbb{R}^n \), kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut, dengan asumsi bahwa \( A \) adalah matriks invertibel dan \( x_1, x_2, \dots, x_n \) adalah himpunan vektor bebas linier di \( \mathbb{R}^n \).

### Langkah-langkah Pembuktian:
1. **Asumsi**: Misalkan \( c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{R} \) adalah konstanta-konstanta yang memenuhi persamaan:
   \[
   c_1 A x_1 + c_2 A x_2 + \dots + c_n A x_n = 0.
   \]

2. **Faktorisasi**: Karena matriks \( A \) adalah matriks invertibel, kita bisa memfaktorkan \( A \) dari persamaan di atas:
   \[
   A (c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n) = 0.
   \]

3. **Matriks Invertibel**: Karena \( A \) adalah matriks invertibel, satu-satunya solusi dari \( A v = 0 \) adalah \( v = 0 \). Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi:
   \[
   c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n = 0.
   \]

4. **Kebebasan Linier**: Karena \( x_1, x_2, \dots, x_n \) adalah bebas linier, satu-satunya solusi untuk persamaan di atas adalah:
   \[
   c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0.
   \]

5. **Kesimpulan**: Karena satu-satunya solusi adalah \( c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0 \), maka \( A x_1, A x_2, \dots, A x_n \) juga bebas linier.

### Kesimpulan Akhir:
Jika \( x_1, x_2, \dots, x_n \) bebas linier dan \( A \) adalah matriks invertibel, maka \( A x_1, A x_2, \dots, A x_n \) juga bebas linier di \( \mathbb{R}^n \).

Apakah ada yang ingin dijelaskan lebih lanjut?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:
1. Apa syarat dari suatu matriks agar disebut invertibel?
2. Bagaimana kebebasan linier berhubungan dengan basis suatu ruang vektor?
3. Bagaimana kita bisa menentukan apakah sekumpulan vektor bebas linier?
4. Bagaimana sifat dari determinan matriks invertibel?
5. Bagaimana pengaruh kebebasan linier jika matriks tidak invertibel?

**Tip**: Matriks invertibel selalu memiliki determinan yang tidak nol, yang merupakan salah satu syarat penting untuk kebebasan linier saat mengalikan dengan vektor.

Explore how to prove that the set of vectors A_x1, A_x2,..., A_xn remains linearly independent when multiplied by an invertible matrix A. This step-by-step solution demonstrates key linear algebra concepts such as linear independence, matrix invertibility, and the invertible matrix theorem.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation