misal x_1, x_2,....,x_n bebas linier di R^n. jika A_nxn matriks invertibel, tunjukkan bahwa A_x1, A_x2,...,A_xn juga bebas liniear di R^n

Misalkan \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) adalah himpunan vektor bebas linier di \(\mathbb{R}^n\), yang artinya setiap vektor \(x_i\) (untuk \(i = 1, 2, \dots, n\)) merupakan vektor di ruang \(\mathbb{R}^n\) dan tidak ada kombinasi linier non-trivial dari vektor- vektor tersebut yang sama dengan nol. Ini berarti jika:

\[
c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n = 0
\]

maka koefisien-koefisien \(c_1, c_2, \dots, c_n\) semuanya harus sama dengan nol, yakni \(c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0\).

Kita diminta untuk menunjukkan bahwa jika \(\mathbf{A}\) adalah matriks invertibel berukuran \(n \times n\), maka himpunan \(\{\mathbf{A}x_1, \mathbf{A}x_2, \dots, \mathbf{A}x_n\}\) juga merupakan himpunan vektor bebas linier di \(\mathbb{R}^n\).

### Pembuktian:
Misalkan ada kombinasi linier dari vektor-vektor \(\mathbf{A}x_1, \mathbf{A}x_2, \dots, \mathbf{A}x_n\) yang menghasilkan vektor nol:

\[
d_1 \mathbf{A}x_1 + d_2 \mathbf{A}x_2 + \dots + d_n \mathbf{A}x_n = 0
\]

Kita dapat menuliskan persamaan ini sebagai:

\[
\mathbf{A}(d_1 x_1 + d_2 x_2 + \dots + d_n x_n) = 0
\]

Karena \(\mathbf{A}\) adalah matriks invertibel, maka \(\mathbf{A}\) memiliki invers \(\mathbf{A}^{-1}\). Dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan \(\mathbf{A}^{-1}\), kita mendapatkan:

\[
\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}(d_1 x_1 + d_2 x_2 + \dots + d_n x_n) = \mathbf{A}^{-1} 0
\]

Karena \(\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{I}\) (identitas), maka:

\[
d_1 x_1 + d_2 x_2 + \dots + d_n x_n = 0
\]

Karena \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) adalah himpunan vektor bebas linier, satu-satunya solusi dari persamaan ini adalah \(d_1 = d_2 = \dots = d_n = 0\).

Oleh karena itu, \(\{\mathbf{A}x_1, \mathbf{A}x_2, \dots, \mathbf{A}x_n\}\) juga merupakan himpunan vektor bebas linier di \(\mathbb{R}^n\).

### Kesimpulan:
Jika \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) bebas linier dan \(\mathbf{A}\) adalah matriks invertibel, maka \(\{\mathbf{A}x_1, \mathbf{A}x_2, \dots, \mathbf{A}x_n\}\) juga bebas linier.

Apakah ada bagian yang ingin dijelaskan lebih rinci? Berikut adalah 5 pertanyaan yang dapat memperluas pemahaman tentang materi ini:
1. Bagaimana menentukan apakah himpunan vektor di \(\mathbb{R}^n\) bebas linier?
2. Mengapa syarat matriks harus invertibel dalam pembuktian ini?
3. Apa hubungan antara determinan matriks dan sifat kebebasan linier?
4. Bagaimana kebebasan linier berubah jika matriks \(\mathbf{A}\) tidak invertibel?
5. Apa peran dari matriks identitas \(\mathbf{I}\) dalam pembuktian di atas?

**Tip:** Matriks invertibel selalu memiliki determinan yang tidak sama dengan nol, dan ini berperan penting dalam memastikan transformasi linear mempertahankan kebebasan linier vektor.

Misalkan x_1, x_2, ..., x_n bebas linier di R^n. Jika A adalah matriks invertibel, tunjukkan bahwa A_x1, A_x2, ..., A_xn juga bebas linier di R^n.

Learn how to prove that if a set of vectors is linearly independent in R^n and transformed by an invertible matrix, the resulting set of vectors remains linearly independent. This problem involves concepts from linear algebra, including matrix inversion and linear independence.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation