Pour résoudre cet exercice, on doit montrer que si $|x| \leq 1$, alors $|2x^2 - x - 1| \leq 2$.

Étape 1 : Analyser l'expression $2x^2 - x - 1$

On a l'expression $2x^2 - x - 1$. On va essayer de voir comment elle varie lorsque $|x| \leq 1$, c'est-à-dire pour $-1 \leq x \leq 1$.

Étape 2 : Trouver les bornes de $2x^2 - x - 1$ pour $x \in [-1, 1]$

Pour démontrer que $|2x^2 - x - 1| \leq 2$, nous allons calculer la valeur de $2x^2 - x - 1$ aux bornes de l'intervalle $x \in [-1, 1]$ et vérifier si son maximum et son minimum sont bien compris entre $-2$ et $2$.

1. Calculons $2x^2 - x - 1$ en $x = -1$ : $2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2$

2. Calculons $2x^2 - x - 1$ en $x = 1$ : $2(1)^2 - (1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$

3. Calculons $2x^2 - x - 1$ en $x = 0$ : $2(0)^2 - (0) - 1 = -1$

Étape 3 : Étudier le comportement de $2x^2 - x - 1$ pour $x \in [-1, 1]$

À partir des calculs aux bornes et en $x = 0$, nous observons que la valeur de $2x^2 - x - 1$ varie entre $-1$ et $2$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $[-1, 1]$.

Conclusion

Comme $2x^2 - x - 1$ est compris entre $-2$ et $2$ pour tout $x$ tel que $|x| \leq 1$, nous avons bien $|2x^2 - x - 1| \leq 2$.

Donc, on a montré que si $|x| \leq 1$, alors $|2x^2 - x - 1| \leq 2$.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur une étape particulière ?

Questions Relatives

1. Que se passe-t-il si l’on modifie la borne supérieure de $|x| \leq 1$ ?
2. Comment prouveriez-vous la même inégalité en utilisant les propriétés des fonctions dérivables ?
3. Quelle est la signification géométrique de cette inégalité sur la fonction $f(x) = 2x^2 - x - 1$ ?
4. Peut-on trouver un autre intervalle de $x$ pour lequel $|2x^2 - x - 1| \leq 2$ ?
5. Quelles sont les étapes clés pour déterminer les bornes d'une expression quadratique ?

Astuce

Pour vérifier une inégalité impliquant des valeurs absolues, il est souvent utile d’évaluer l’expression aux bornes de l’intervalle donné et de calculer son maximum et minimum.