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Résoudre ce exercice par une méthode dans la logique cours facile est bien expliqué (mon niveau : 1ère année bac marocain ) 

Pour résoudre cet exercice, on doit montrer que si \( |x| \leq 1 \), alors \( |2x^2 - x - 1| \leq 2 \).

### Étape 1 : Analyser l'expression \( 2x^2 - x - 1 \)
On a l'expression \( 2x^2 - x - 1 \). On va essayer de voir comment elle varie lorsque \( |x| \leq 1 \), c'est-à-dire pour \( -1 \leq x \leq 1 \).

### Étape 2 : Trouver les bornes de \( 2x^2 - x - 1 \) pour \( x \in [-1, 1] \)
Pour démontrer que \( |2x^2 - x - 1| \leq 2 \), nous allons calculer la valeur de \( 2x^2 - x - 1 \) aux bornes de l'intervalle \( x \in [-1, 1] \) et vérifier si son maximum et son minimum sont bien compris entre \(-2\) et \(2\).

1. **Calculons \(2x^2 - x - 1\) en \(x = -1\) :**
   \[
   2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2
   \]

2. **Calculons \(2x^2 - x - 1\) en \(x = 1\) :**
   \[
   2(1)^2 - (1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0
   \]

3. **Calculons \(2x^2 - x - 1\) en \(x = 0\) :**
   \[
   2(0)^2 - (0) - 1 = -1
   \]

### Étape 3 : Étudier le comportement de \(2x^2 - x - 1\) pour \(x \in [-1, 1]\)
À partir des calculs aux bornes et en \(x = 0\), nous observons que la valeur de \(2x^2 - x - 1\) varie entre \(-1\) et \(2\) lorsque \(x\) est dans l'intervalle \([-1, 1]\).

### Conclusion
Comme \(2x^2 - x - 1\) est compris entre \(-2\) et \(2\) pour tout \(x\) tel que \( |x| \leq 1 \), nous avons bien \( |2x^2 - x - 1| \leq 2 \).

Donc, on a montré que si \( |x| \leq 1 \), alors \( |2x^2 - x - 1| \leq 2 \).

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur une étape particulière ?

### Questions Relatives
1. Que se passe-t-il si l’on modifie la borne supérieure de \( |x| \leq 1 \) ?
2. Comment prouveriez-vous la même inégalité en utilisant les propriétés des fonctions dérivables ?
3. Quelle est la signification géométrique de cette inégalité sur la fonction \( f(x) = 2x^2 - x - 1 \) ?
4. Peut-on trouver un autre intervalle de \(x\) pour lequel \( |2x^2 - x - 1| \leq 2 \) ?
5. Quelles sont les étapes clés pour déterminer les bornes d'une expression quadratique ?

### Astuce
Pour vérifier une inégalité impliquant des valeurs absolues, il est souvent utile d’évaluer l’expression aux bornes de l’intervalle donné et de calculer son maximum et minimum.

Soit x ∈ R. Montrer que : |x| ≤ 1 ⇒ |2x² - x - 1| ≤ 2.

Learn how to prove that for any real number x with |x| ≤ 1, the inequality |2x² - x - 1| ≤ 2 holds. This solution includes steps for analyzing the behavior of quadratic expressions within an interval and applying properties of absolute values. Suitable for Grade 11 students.

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