Часть а)

Чтобы доказать данные формулы для "сложного радикала", рассмотрим первую формулу:

$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$

Пусть $x = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$. Нам нужно показать, что $x^2 = a + \sqrt{b}$.

Шаг 1. Возведение $x$ в квадрат:

$x^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2.$ Раскроем скобки: $x^2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \cdot \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$ Упростим первые два члена: $x^2 = \frac{(a + \sqrt{a^2 - b}) + (a - \sqrt{a^2 - b})}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}}.$ Первый член упрощается до $a$: $x^2 = a + 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b)}{4}}.$ Теперь упростим подкоренное выражение во втором члене: $x^2 = a + 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{4}} = a + \sqrt{b}.$ Таким образом, доказано, что $\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$

Доказательство для второй формулы

Аналогично докажем вторую формулу: $\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$ Пусть $y = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$. Тогда $y^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2.$ Раскрывая квадрат, получаем: $y^2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} - 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \cdot \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$ Первые два члена снова дают $a$: $y^2 = a - 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{4}} = a - \sqrt{b}.$ Таким образом, доказано, что $\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$

Часть б)

Теперь воспользуемся доказанными формулами, чтобы вычислить $\sqrt{38 - \sqrt{603}}$.

Здесь $a = 38$ и $b = 603$. Посчитаем $a^2 - b$: $a^2 = 38^2 = 1444,$ $a^2 - b = 1444 - 603 = 841.$ Тогда $\sqrt{a^2 - b} = \sqrt{841} = 29$.

Подставим значения в формулу: $\sqrt{38 - \sqrt{603}} = \sqrt{\frac{38 + 29}{2}} - \sqrt{\frac{38 - 29}{2}}.$ Вычислим каждое слагаемое: $\frac{38 + 29}{2} = \frac{67}{2} = 33.5 \Rightarrow \sqrt{33.5} = 5.5,$ $\frac{38 - 29}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \Rightarrow \sqrt{4.5} = 3.$ Таким образом, $\sqrt{38 - \sqrt{603}} = 5.5 - 3 = 2.5.$

Ответ: $\sqrt{38 - \sqrt{603}} = 2.5$.

---

Есть ли у вас вопросы или нужно больше объяснений?

Вот несколько связанных вопросов для дальнейшего изучения:

1. Почему важно условие $a^2 - b > 0$ для данных формул?
2. Можно ли использовать эти формулы для отрицательных значений $a$ или $b$?
3. Как бы выглядело доказательство, если бы $b = 0$?
4. Как формулы изменятся при добавлении постоянного множителя?
5. Существуют ли альтернативные способы вычисления корней сложных радикалов?

Совет: Применение формул упрощает вычисление сложных корней, особенно когда их можно выразить в виде суммы или разности более простых выражений.