Pour rendre rationnel le dénominateur de l'expression suivante :

$\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$

on multiplie à la fois le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{ab}$, afin d'éliminer la racine carrée dans le dénominateur. Voici les étapes :

1. Multiplions le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{ab}$ :

$\frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}}$

2. Le dénominateur devient alors :

$\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab} = ab$

3. Le numérateur devient :

$(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} + b\sqrt{a} \cdot \sqrt{ab}$

4. Simplifions le numérateur :

$a\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{b \cdot ab} = a\sqrt{a b^2} = ab\sqrt{b}$

$b\sqrt{a} \cdot \sqrt{ab} = b\sqrt{a \cdot ab} = b\sqrt{a^2 b} = ab\sqrt{a}$

5. Le numérateur simplifié est donc :

$ab\sqrt{b} + ab\sqrt{a} = ab(\sqrt{b} + \sqrt{a})$

6. Ainsi, l'expression finale avec un dénominateur rationnel est :

$\frac{ab(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{ab}$

7. En simplifiant par $ab$ dans le numérateur et le dénominateur, on obtient :

$\sqrt{b} + \sqrt{a}$

Donc, l'expression simplifiée avec un dénominateur rationnel est $\sqrt{b} + \sqrt{a}$.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions connexes :

1. Comment rationaliser un dénominateur contenant une somme de racines carrées ?
2. Quelle est la signification de la rationalisation du dénominateur ?
3. Comment simplifier une expression qui contient des racines carrées multiples ?
4. Comment gérer les racines carrées dans une addition au numérateur ?
5. Quelles sont les applications pratiques de la rationalisation des dénominateurs dans les mathématiques ?

Astuce : Lorsque vous rationalisez un dénominateur, le but est d'éliminer les racines carrées pour simplifier le calcul et obtenir des formes plus utilisables en algèbre.