rendre rationnel le dénominateur de : a*sqrt(b)+b*sqrt(a)/sqrt(ab)

Pour rendre rationnel le dénominateur de l'expression suivante :

\[
\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}
\]

on multiplie à la fois le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{ab}\), afin d'éliminer la racine carrée dans le dénominateur. Voici les étapes :

1. Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{ab}\) :

\[
\frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}}
\]

2. Le dénominateur devient alors :

\[
\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab} = ab
\]

3. Le numérateur devient :

\[
(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} + b\sqrt{a} \cdot \sqrt{ab}
\]

4. Simplifions le numérateur :

\[
a\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{b \cdot ab} = a\sqrt{a b^2} = ab\sqrt{b}
\]

\[
b\sqrt{a} \cdot \sqrt{ab} = b\sqrt{a \cdot ab} = b\sqrt{a^2 b} = ab\sqrt{a}
\]

5. Le numérateur simplifié est donc :

\[
ab\sqrt{b} + ab\sqrt{a} = ab(\sqrt{b} + \sqrt{a})
\]

6. Ainsi, l'expression finale avec un dénominateur rationnel est :

\[
\frac{ab(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{ab}
\]

7. En simplifiant par \(ab\) dans le numérateur et le dénominateur, on obtient :

\[
\sqrt{b} + \sqrt{a}
\]

Donc, l'expression simplifiée avec un dénominateur rationnel est \(\sqrt{b} + \sqrt{a}\).

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ? 

Voici 5 questions connexes :

1. Comment rationaliser un dénominateur contenant une somme de racines carrées ?
2. Quelle est la signification de la rationalisation du dénominateur ?
3. Comment simplifier une expression qui contient des racines carrées multiples ?
4. Comment gérer les racines carrées dans une addition au numérateur ?
5. Quelles sont les applications pratiques de la rationalisation des dénominateurs dans les mathématiques ?

**Astuce :** Lorsque vous rationalisez un dénominateur, le but est d'éliminer les racines carrées pour simplifier le calcul et obtenir des formes plus utilisables en algèbre.

Discover how to rationalize the denominator of the expression a*sqrt(b) + b*sqrt(a) / sqrt(ab). This detailed step-by-step solution covers algebraic concepts such as square roots and rationalization. Suitable for students in Grades 9-11.

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