Nous devons montrer que la fonction $f : ]1, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[$ définie par :

$f(x) = \frac{1}{x - 1}$

est bijective, c'est-à-dire qu'elle est à la fois injective et surjective. Ensuite, nous devons calculer sa bijection réciproque.

1. Montrons que $f$ est injective

Pour qu'une fonction soit injective, il faut que :

$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$

Prenons $f(x_1) = f(x_2)$, soit :

$\frac{1}{x_1 - 1} = \frac{1}{x_2 - 1}$

Cela implique que :

$x_1 - 1 = x_2 - 1$

D'où :

$x_1 = x_2$

Ainsi, $f$ est injective.

2. Montrons que $f$ est surjective

Pour qu'une fonction soit surjective, il faut que pour tout $y \in ]0, +\infty[$, il existe un $x \in ]1, +\infty[$ tel que $f(x) = y$. Soit :

$f(x) = \frac{1}{x - 1} = y$

On résout cette équation pour $x$ :

$x - 1 = \frac{1}{y}$

$x = 1 + \frac{1}{y}$

Comme $y \in ]0, +\infty[$, on a $x = 1 + \frac{1}{y}$, et on constate que $x \in ]1, +\infty[$. Ainsi, $f$ est surjective.

3. Conclusion : $f$ est bijective

Puisque $f$ est à la fois injective et surjective, elle est donc bijective.

4. Calcul de la bijection réciproque

Pour calculer la fonction réciproque $f^{-1}$, on part de l'équation $y = f(x) = \frac{1}{x - 1}$ et on résout pour $x$.

$y = \frac{1}{x - 1}$

$x - 1 = \frac{1}{y}$

$x = 1 + \frac{1}{y}$

Ainsi, la fonction réciproque de $f$ est :

$f^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}$

Résumé

La fonction $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ est bijective sur l'intervalle $]1, +\infty[$ vers $]0, +\infty[$, et sa bijection réciproque est :

$f^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}$

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions connexes :

1. Qu'est-ce qu'une fonction injective et comment le prouver dans d'autres contextes ?
2. Comment montrer qu'une fonction est surjective pour des domaines différents ?
3. Quelle est l'importance de la réciprocité dans les fonctions bijectives ?
4. Comment résoudre l'équation $f(x) = y$ pour trouver la réciproque dans d'autres cas ?
5. Comment visualiser graphiquement une fonction bijective et sa réciproque ?

Tip : Lorsqu'une fonction est bijective, elle a une correspondance unique entre chaque élément de son domaine et son image, ce qui facilite le calcul de la réciproque.