Montrer que la fonction f : ]1,+∞[→]0,+∞[ définie par f (x) = 1/(x−1) est bijective. Calculer sa
bijection réciproque

Nous devons montrer que la fonction \( f : ]1, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[ \) définie par :

\[
f(x) = \frac{1}{x - 1}
\]

est bijective, c'est-à-dire qu'elle est à la fois **injective** et **surjective**. Ensuite, nous devons calculer sa bijection réciproque.

### 1. Montrons que \( f \) est injective
Pour qu'une fonction soit injective, il faut que :

\[
f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2
\]

Prenons \( f(x_1) = f(x_2) \), soit :

\[
\frac{1}{x_1 - 1} = \frac{1}{x_2 - 1}
\]

Cela implique que :

\[
x_1 - 1 = x_2 - 1
\]

D'où :

\[
x_1 = x_2
\]

Ainsi, \( f \) est injective.

### 2. Montrons que \( f \) est surjective
Pour qu'une fonction soit surjective, il faut que pour tout \( y \in ]0, +\infty[ \), il existe un \( x \in ]1, +\infty[ \) tel que \( f(x) = y \). Soit :

\[
f(x) = \frac{1}{x - 1} = y
\]

On résout cette équation pour \( x \) :

\[
x - 1 = \frac{1}{y}
\]

\[
x = 1 + \frac{1}{y}
\]

Comme \( y \in ]0, +\infty[ \), on a \( x = 1 + \frac{1}{y} \), et on constate que \( x \in ]1, +\infty[ \). Ainsi, \( f \) est surjective.

### 3. Conclusion : \( f \) est bijective
Puisque \( f \) est à la fois injective et surjective, elle est donc bijective.

### 4. Calcul de la bijection réciproque
Pour calculer la fonction réciproque \( f^{-1} \), on part de l'équation \( y = f(x) = \frac{1}{x - 1} \) et on résout pour \( x \).

\[
y = \frac{1}{x - 1}
\]

\[
x - 1 = \frac{1}{y}
\]

\[
x = 1 + \frac{1}{y}
\]

Ainsi, la fonction réciproque de \( f \) est :

\[
f^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}
\]

### Résumé
La fonction \( f(x) = \frac{1}{x - 1} \) est bijective sur l'intervalle \( ]1, +\infty[ \) vers \( ]0, +\infty[ \), et sa bijection réciproque est :

\[
f^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}
\]

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions connexes :
1. Qu'est-ce qu'une fonction injective et comment le prouver dans d'autres contextes ?
2. Comment montrer qu'une fonction est surjective pour des domaines différents ?
3. Quelle est l'importance de la réciprocité dans les fonctions bijectives ?
4. Comment résoudre l'équation \( f(x) = y \) pour trouver la réciproque dans d'autres cas ?
5. Comment visualiser graphiquement une fonction bijective et sa réciproque ?

**Tip** : Lorsqu'une fonction est bijective, elle a une correspondance unique entre chaque élément de son domaine et son image, ce qui facilite le calcul de la réciproque.

Montrer que la fonction f : ]1,+∞[→]0,+∞[ définie par f (x) = 1/(x−1) est bijective. Calculer sa bijection réciproque

Discover how to prove the bijectivity of the function f(x) = 1/(x-1) over the interval ]1,+∞[ and compute its inverse. This solution covers key concepts such as injectivity, surjectivity, and inverse functions, suitable for university-level students.

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