Math Problem Statement
Montrer que la fonction f : ]1,+∞[→]0,+∞[ définie par f (x) = 1/(x−1) est bijective. Calculer sa bijection réciproque
Solution
Nous devons montrer que la fonction définie par :
est bijective, c'est-à-dire qu'elle est à la fois injective et surjective. Ensuite, nous devons calculer sa bijection réciproque.
1. Montrons que est injective
Pour qu'une fonction soit injective, il faut que :
Prenons , soit :
Cela implique que :
D'où :
Ainsi, est injective.
2. Montrons que est surjective
Pour qu'une fonction soit surjective, il faut que pour tout , il existe un tel que . Soit :
On résout cette équation pour :
Comme , on a , et on constate que . Ainsi, est surjective.
3. Conclusion : est bijective
Puisque est à la fois injective et surjective, elle est donc bijective.
4. Calcul de la bijection réciproque
Pour calculer la fonction réciproque , on part de l'équation et on résout pour .
Ainsi, la fonction réciproque de est :
Résumé
La fonction est bijective sur l'intervalle vers , et sa bijection réciproque est :
Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?
Voici 5 questions connexes :
- Qu'est-ce qu'une fonction injective et comment le prouver dans d'autres contextes ?
- Comment montrer qu'une fonction est surjective pour des domaines différents ?
- Quelle est l'importance de la réciprocité dans les fonctions bijectives ?
- Comment résoudre l'équation pour trouver la réciproque dans d'autres cas ?
- Comment visualiser graphiquement une fonction bijective et sa réciproque ?
Tip : Lorsqu'une fonction est bijective, elle a une correspondance unique entre chaque élément de son domaine et son image, ce qui facilite le calcul de la réciproque.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Functions
Bijectivity
Injectivity
Surjectivity
Inverse Functions
Formulas
f(x) = 1/(x-1)
f^{-1}(y) = 1 + 1/y
Theorems
Bijectivity Theorem (A function is bijective if and only if it is both injective and surjective)
Suitable Grade Level
University Level (Undergraduate)
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