Math Problem Statement

Montrer que la fonction f : ]1,+∞[→]0,+∞[ définie par f (x) = 1/(x−1) est bijective. Calculer sa bijection réciproque

Solution

Nous devons montrer que la fonction f:]1,+[]0,+[f : ]1, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[ définie par :

f(x)=1x1f(x) = \frac{1}{x - 1}

est bijective, c'est-à-dire qu'elle est à la fois injective et surjective. Ensuite, nous devons calculer sa bijection réciproque.

1. Montrons que ff est injective

Pour qu'une fonction soit injective, il faut que :

f(x1)=f(x2)    x1=x2f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2

Prenons f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2), soit :

1x11=1x21\frac{1}{x_1 - 1} = \frac{1}{x_2 - 1}

Cela implique que :

x11=x21x_1 - 1 = x_2 - 1

D'où :

x1=x2x_1 = x_2

Ainsi, ff est injective.

2. Montrons que ff est surjective

Pour qu'une fonction soit surjective, il faut que pour tout y]0,+[y \in ]0, +\infty[, il existe un x]1,+[x \in ]1, +\infty[ tel que f(x)=yf(x) = y. Soit :

f(x)=1x1=yf(x) = \frac{1}{x - 1} = y

On résout cette équation pour xx :

x1=1yx - 1 = \frac{1}{y}

x=1+1yx = 1 + \frac{1}{y}

Comme y]0,+[y \in ]0, +\infty[, on a x=1+1yx = 1 + \frac{1}{y}, et on constate que x]1,+[x \in ]1, +\infty[. Ainsi, ff est surjective.

3. Conclusion : ff est bijective

Puisque ff est à la fois injective et surjective, elle est donc bijective.

4. Calcul de la bijection réciproque

Pour calculer la fonction réciproque f1f^{-1}, on part de l'équation y=f(x)=1x1y = f(x) = \frac{1}{x - 1} et on résout pour xx.

y=1x1y = \frac{1}{x - 1}

x1=1yx - 1 = \frac{1}{y}

x=1+1yx = 1 + \frac{1}{y}

Ainsi, la fonction réciproque de ff est :

f1(y)=1+1yf^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}

Résumé

La fonction f(x)=1x1f(x) = \frac{1}{x - 1} est bijective sur l'intervalle ]1,+[]1, +\infty[ vers ]0,+[]0, +\infty[, et sa bijection réciproque est :

f1(y)=1+1yf^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions connexes :

  1. Qu'est-ce qu'une fonction injective et comment le prouver dans d'autres contextes ?
  2. Comment montrer qu'une fonction est surjective pour des domaines différents ?
  3. Quelle est l'importance de la réciprocité dans les fonctions bijectives ?
  4. Comment résoudre l'équation f(x)=yf(x) = y pour trouver la réciproque dans d'autres cas ?
  5. Comment visualiser graphiquement une fonction bijective et sa réciproque ?

Tip : Lorsqu'une fonction est bijective, elle a une correspondance unique entre chaque élément de son domaine et son image, ce qui facilite le calcul de la réciproque.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Functions
Bijectivity
Injectivity
Surjectivity
Inverse Functions

Formulas

f(x) = 1/(x-1)
f^{-1}(y) = 1 + 1/y

Theorems

Bijectivity Theorem (A function is bijective if and only if it is both injective and surjective)

Suitable Grade Level

University Level (Undergraduate)