Montrer que la fonction f : ]1,+∞[→]0,+∞[ définie par f (x) = 1/x−1 est bijective. Calculer sa 
bijection réciproque

Pour montrer que la fonction \( f : ]1, +\infty[ \to ]0, +\infty[ \) définie par \( f(x) = \frac{1}{x} - 1 \) est bijective, nous devons démontrer qu'elle est à la fois injective et surjective, puis calculer sa bijection réciproque.

### 1. Injection

Pour montrer que \( f \) est injective, il faut prouver que si \( f(x_1) = f(x_2) \), alors \( x_1 = x_2 \).

Prenons \( f(x_1) = f(x_2) \), ce qui signifie :
\[
\frac{1}{x_1} - 1 = \frac{1}{x_2} - 1
\]

En simplifiant, on obtient :
\[
\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}
\]

En inversant les deux côtés, cela donne :
\[
x_1 = x_2
\]

Donc, \( f \) est injective.

### 2. Surjection

Nous devons montrer que pour tout \( y \in ]0, +\infty[ \), il existe un \( x \in ]1, +\infty[ \) tel que \( f(x) = y \).

Prenons \( f(x) = y \), donc :
\[
\frac{1}{x} - 1 = y
\]

En isolant \( \frac{1}{x} \), on obtient :
\

Montrer que la fonction f : ]1,+∞[→]0,+∞[ définie par f (x) = 1/x−1 est bijective. Calculer sa bijection réciproque.

Explore how to prove the bijectivity of the function f(x) = 1/x - 1 for the interval ]1,+∞[ to ]0,+∞[. The step-by-step solution covers injectivity, surjectivity, and calculating the inverse function f⁻¹(y). Suitable for university-level students.

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