Pour montrer que la fonction $f : ]1, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ définie par $f(x) = \frac{1}{x} - 1$ est bijective, nous devons démontrer qu'elle est à la fois injective et surjective, puis calculer sa bijection réciproque.

1. Injection

Pour montrer que $f$ est injective, il faut prouver que si $f(x_1) = f(x_2)$, alors $x_1 = x_2$.

Prenons $f(x_1) = f(x_2)$, ce qui signifie : $\frac{1}{x_1} - 1 = \frac{1}{x_2} - 1$

En simplifiant, on obtient : $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$

En inversant les deux côtés, cela donne : $x_1 = x_2$

Donc, $f$ est injective.

2. Surjection

Nous devons montrer que pour tout $y \in ]0, +\infty[$, il existe un $x \in ]1, +\infty[$ tel que $f(x) = y$.

Prenons $f(x) = y$, donc : $\frac{1}{x} - 1 = y$

En isolant $\frac{1}{x}$, on obtient : \