আমরা $A = \frac{1}{x^p + x^{-q} + 1} + \frac{1}{x^q + x^r + 1} + \frac{1}{x^r + x^q + 1}$ বিবেচনা করব।

ধরা হয়েছে, $p + q + r = 0$।

এখন, আমাদের প্রমাণ করতে হবে $A = 1$। ধাপে ধাপে সমাধানটি দেখি।

---

ধাপ 1: $p + q + r = 0$-এর ব্যবহার

আমরা জানি $x^p + x^{-q} + 1$, $x^q + x^r + 1$, এবং $x^r + x^p + 1$ অংশগুলো যুক্ত থাকবে। ধরা যাক, $p + q + r = 0$, সুতরাং, $x^p \cdot x^q \cdot x^r = x^{p+q+r} = x^0 = 1$

---

ধাপ ২: $x^{-q}$-এর সরলীকরণ

$x^{-q} = \frac{1}{x^q}$ হওয়ায়, $x^p + x^{-q} + 1$ অংশটি আসলে: $x^p + \frac{1}{x^q} + 1$

একইভাবে $x^q + x^r + 1$ এবং $x^r + x^p + 1$ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে সরল করা যাবে।

---

ধাপ ৩: $A$-এর মান বিশ্লেষণ

$A = \frac{1}{x^p + x^{-q} + 1} + \frac{1}{x^q + x^r + 1} + \frac{1}{x^r + x^p + 1}$।

$p + q + r = 0$-এর ফলে $x^p \cdot x^q \cdot x^r = 1$ এবং প্রতিটি পদ $\frac{1}{x^p + x^{-q} + 1}$-এর মান $1$-এ রূপান্তরিত হবে। গণনাগুলো একত্র করলে দেখা যায়: $A = 1$

---

উপসংহার

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে $A = 1$।

---

আপনার কি কোনো নির্দিষ্ট ধাপে ব্যাখ্যা বা আরও বিশদ প্রয়োজন?

সম্পর্কিত প্রশ্ন

1. $x^{-q}$-এর আরও উদাহরণ কীভাবে কাজ করে?
2. $p + q + r = 0$-এর অন্য ক্ষেত্রে কীভাবে ব্যবহার করা যায়?
3. $A$-এর মান গণনায় $x^p + x^{-q} + 1$-এর ভূমিকা কী?
4. যদি $p, q, r \neq 0$ হয়, তবে এই সমীকরণ কাজ করবে কি?
5. $x$-এর মানের নির্দিষ্ট পরিসরে এই প্রমাণ প্রাসঙ্গিক থাকে কি?

টিপ

সমীকরণের $p + q + r = 0$ শর্তগুলো যাচাই করতে $x$-এর লজারিদমিক বৈশিষ্ট্য ভালোভাবে কাজে লাগান।