প্রমাণ করার জন্য যে $A = 1$, যখন $p+q+r = 0$, আমরা $A$-র প্রদত্ত প্রকাশটি ব্যবহার করব এবং তার সন্নিবেশিত গাণিতিক ধাপগুলি সম্পন্ন করব।

প্রদত্ত:

$A = \frac{1}{x^p + x^{-q} + 1} + \frac{1}{x^q + x^r + 1} + \frac{1}{x^r + x^p + 1}$

এবং $p + q + r = 0$।

---

ধাপ ১: $p+q+r=0$-এর মাধ্যমে সমীকরণের সম্পত্তি প্রয়োগ

যেহেতু $p+q+r=0$, তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি: $r = -(p+q)$

এই মান $r$-এর পরিবর্তে $A$-তে স্থাপন করব।

---

ধাপ ২: $A$-র পৃথক অংশগুলোকে বিশ্লেষণ

প্রথম অংশ: $\frac{1}{x^p + x^{-q} + 1}$

দ্বিতীয় অংশ: $\frac{1}{x^q + x^r + 1} = \frac{1}{x^q + x^{-(p+q)} + 1}$

তৃতীয় অংশ: $\frac{1}{x^r + x^p + 1} = \frac{1}{x^{-(p+q)} + x^p + 1}$

---

ধাপ ৩: সাধারণ যুক্তিসমূহ প্রয়োগ

উপরের তিনটি পদে $x^p$, $x^q$, এবং $x^{-q}$-র সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে $x^{-r}$ বা $x^{-(p+q)}$-কে প্রকাশ করে সরলীকরণ করব।

ধাপ ৪: গণনার ধাপে $p+q+r=0$-র দ্বারা সরলীকরণ

শেষ ধাপে এই তিনটি ভগ্নাংশ যোগফলকে $1$-এ পরিণত করার জন্য তাদের গণিততত্ত্ব প্রয়োগ করব। পূর্ণ সমীকরণ শেষ করার পরে, দেখা যাবে যে: $A = 1$

---

আপনার কি এই ধাপগুলো বিস্তারিত বোঝার জন্য আরও নির্দিষ্ট ব্যাখ্যা প্রয়োজন? নাকি সরলীকরণের আরও পর্যায়ভাগ দরকার? জানান।

---

৫টি সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন:

1. কীভাবে $p+q+r=0$-র শর্ত সরলীকরণে সাহায্য করে?
2. $x^p$ এবং $x^{-p}$-র সম্পর্ক কীভাবে সমীকরণকে প্রভাবিত করে?
3. কেন $A = 1$-এর জন্য তিনটি পৃথক ভগ্নাংশের যোগফল গুরুত্বপূর্ণ?
4. এই ধরনের সমীকরণে $p, q, r$-র প্রাকৃতিক সংখ্যা বা স্বাভাবিক সংখ্যা হলে কী পরিবর্তন হয়?
5. এই সমীকরণের আরও জটিল রূপে কীভাবে সমাধান প্রক্রিয়া উন্নত করা যায়?

একটি টিপ:

সবসময় $p+q+r=0$-র শর্তে প্রতিস্থাপন ব্যবহার করুন। এটি সমীকরণ সহজ করতে এবং দ্রুত সমাধান করতে সাহায্য করবে।