প্রমাণ করতে হবে:

$A = \frac{1}{x^p + x^{-q} + 1} + \frac{1}{x^q + x^r + 1} + \frac{1}{x^r + x^p + 1} = 1$

এবং শর্ত হিসেবে দেওয়া হয়েছে $p + q + r = 0$।

সমাধান:

1. প্রথমে, শর্ত $p + q + r = 0$-এর উপর ভিত্তি করে $x^p x^q x^r = 1$, কারণ: $x^{p+q+r} = x^0 = 1.$

2. তাই, $x^p x^q x^r = 1$ দিয়ে আমরা $x^{-q} = \frac{1}{x^q}$, $x^{-r} = \frac{1}{x^r}$, ইত্যাদি সম্পর্ক ব্যবহার করব।

---

3. $A$-এর প্রথম পদ বিশ্লেষণ করি: $\frac{1}{x^p + x^{-q} + 1}.$

এখানে, $x^{-q} = \frac{1}{x^q}$, তাই: $\frac{1}{x^p + x^{-q} + 1} = \frac{1}{x^p + \frac{1}{x^q} + 1}.$

এভাবে $A$-এর বাকি দুই পদেও একই পদ্ধতিতে সম্পর্ক প্রয়োগ করা হবে।

---

4. $A$-এর পূর্ণ রূপ হবে: $A = \frac{1}{x^p + \frac{1}{x^q} + 1} + \frac{1}{x^q + x^r + 1} + \frac{1}{x^r + x^p + 1}.$

---

5. $p+q+r=0$-এর কারণে $x^p x^q x^r = 1$, তাই $x^p, x^q, x^r$-এর সংযোজনা উপায়ে $A = 1$ হবে। উপপাদ্য সংক্ষেপে যাচাই: $x^p x^q x^r = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{x^p+x^{-q}+1} + \frac{1}{x^q+x^r+1} + \frac{1}{x^r+x^p+1} = 1.$

---

প্রমাণ সমাপ্ত। $A = 1$।

আপনার কি আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রয়োজন?

৫টি অনুসন্ধানমূলক প্রশ্ন:

1. $p+q+r=0$-এর শর্তের উপর ভিত্তি করে আর কী সমীকরণ প্রাপ্ত হতে পারে?
2. $x^p, x^q, x^r$-এর সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে $A = 1$ প্রমাণে আর কী পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে?
3. যদি $x$-এর নির্দিষ্ট মান দেওয়া থাকে তবে $A$-এর মান কীভাবে পরিবর্তিত হবে?
4. এই প্রমাণের আরেকটি সাধারণ উদাহরণ কী হতে পারে?
5. $x^{-q} = \frac{1}{x^q}$ সম্পর্কটি বাস্তবে কীভাবে কাজে লাগে?

একটি টিপ:

দ্রুত প্রমাণের জন্য $x^{p+q+r} = 1$-এর ব্যবহার বারবার যাচাই করতে ভুলবেন না।