Soit $z = 2 + \sqrt{3} + i$, où $z$ est un nombre complexe. On nous demande de démontrer que $|z| = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

Rappel sur le module d'un nombre complexe

Le module $|z|$ d'un nombre complexe $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont des réels, est donné par la formule : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ Dans notre cas, $z = 2 + \sqrt{3} + i$, donc $a = 2 + \sqrt{3}$ et $b = 1$.

Calcul du module $|z|$

Nous avons : $|z| = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2 + 1^2}$ D'abord, calculons $(2 + \sqrt{3})^2$ : $(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$ Donc, le module devient : $|z| = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3}) + 1} = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$ Cela nous amène à l'expression : $|z| = \sqrt{4(2 + \sqrt{3})}$ En factorisant $4$ sous la racine carrée, nous obtenons : $|z| = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Cela conclut la démonstration. Nous avons montré que $|z| = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur une étape ? Voici quelques questions pour approfondir le sujet :

1. Comment interpréter le module d'un nombre complexe géométriquement ?
2. Pourquoi faut-il utiliser l'expression $\sqrt{a^2 + b^2}$ pour calculer le module ?
3. Quelles sont les propriétés des modules de nombres complexes dans le plan complexe ?
4. Comment peut-on utiliser le module d'un nombre complexe dans des équations différentielles ?
5. Est-ce que la forme trigonométrique ou exponentielle d'un nombre complexe peut simplifier le calcul du module ?

Astuce : Toujours vérifier les étapes de simplification lors de l'expansion d'un binôme, en particulier lors des termes de type $\sqrt{a}$.