Nous devons montrer que :

$\frac{a + b}{1 + ab} < 1$

en supposant que $-1 < a < 1$ et $-1 < b < 1$.

Étape 1 : Départ de l'inégalité donnée

Commençons par supposer que l'inégalité est vraie et démontrons-la :

$\frac{a + b}{1 + ab} < 1$

Cela revient à prouver que l'expression suivante est vraie après avoir multiplié des deux côtés par $1 + ab$ (en supposant que $1 + ab > 0$, ce qui est généralement le cas car $ab$ est toujours inférieur à 1 dans notre intervalle) :

$a + b < 1 + ab$

Étape 2 : Manipulation algébrique

Maintenant, réarrangeons l'inégalité :

$a + b - ab < 1$

Étape 3 : Facteurisation

Réarrangeons les termes pour rendre plus évident ce qui doit être prouvé :

$a(1 - b) + b < 1$

Étape 4 : Analyse des termes

Observons les propriétés des termes :

• Puisque $a$ et $b$ sont dans l'intervalle $(-1, 1)$, on a $1 - b > 0$ et $a(1 - b)$ est un produit de deux nombres dont l'un est strictement inférieur à 1, ce qui garantit que l'expression $a(1 - b) + b$ sera strictement inférieure à 1.

En conclusion, les bornes $-1 < a < 1$ et $-1 < b < 1$ garantissent que l'inégalité est respectée, donc :

$\frac{a + b}{1 + ab} < 1$

Est bien vérifié.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions relatives :

1. Que se passe-t-il si $a$ ou $b$ est égal à 1 ou -1 ?
2. Peut-on généraliser cette inégalité à d'autres intervalles ?
3. Pourquoi l'hypothèse $1 + ab > 0$ est-elle importante ici ?
4. Comment cette inégalité change-t-elle si on modifie le signe de $a$ ou $b$ ?
5. Quels types de problèmes utilisent ce genre d'inégalités dans d'autres contextes ?

Tip : Multiplier une inégalité par une quantité positive ne change pas son sens, mais attention à ne jamais multiplier par une expression qui pourrait être négative sans vérification préalable.