Montrer que (a+b)/1+ab est inférieure à 1, sachant que a est inférieur à 1 et supérieur à -1 et b aussi

Nous devons montrer que :

\[
\frac{a + b}{1 + ab} < 1
\]

en supposant que \( -1 < a < 1 \) et \( -1 < b < 1 \).

### Étape 1 : Départ de l'inégalité donnée
Commençons par supposer que l'inégalité est vraie et démontrons-la :

\[
\frac{a + b}{1 + ab} < 1
\]

Cela revient à prouver que l'expression suivante est vraie après avoir multiplié des deux côtés par \( 1 + ab \) (en supposant que \( 1 + ab > 0 \), ce qui est généralement le cas car \( ab \) est toujours inférieur à 1 dans notre intervalle) :

\[
a + b < 1 + ab
\]

### Étape 2 : Manipulation algébrique
Maintenant, réarrangeons l'inégalité :

\[
a + b - ab < 1
\]

### Étape 3 : Facteurisation
Réarrangeons les termes pour rendre plus évident ce qui doit être prouvé :

\[
a(1 - b) + b < 1
\]

### Étape 4 : Analyse des termes
Observons les propriétés des termes :

- Puisque \( a \) et \( b \) sont dans l'intervalle \( (-1, 1) \), on a \( 1 - b > 0 \) et \( a(1 - b) \) est un produit de deux nombres dont l'un est strictement inférieur à 1, ce qui garantit que l'expression \( a(1 - b) + b \) sera strictement inférieure à 1.

En conclusion, les bornes \( -1 < a < 1 \) et \( -1 < b < 1 \) garantissent que l'inégalité est respectée, donc :

\[
\frac{a + b}{1 + ab} < 1
\]

Est bien vérifié.

### Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions relatives :

1. Que se passe-t-il si \( a \) ou \( b \) est égal à 1 ou -1 ?
2. Peut-on généraliser cette inégalité à d'autres intervalles ?
3. Pourquoi l'hypothèse \( 1 + ab > 0 \) est-elle importante ici ?
4. Comment cette inégalité change-t-elle si on modifie le signe de \( a \) ou \( b \) ?
5. Quels types de problèmes utilisent ce genre d'inégalités dans d'autres contextes ?

**Tip** : Multiplier une inégalité par une quantité positive ne change pas son sens, mais attention à ne jamais multiplier par une expression qui pourrait être négative sans vérification préalable.

Montrer que (a+b)/(1+ab) est inférieure à 1, sachant que a est inférieur à 1 et supérieur à -1 et b aussi.

Discover how to prove the inequality (a + b) / (1 + ab) < 1 for values of a and b within the interval (-1, 1). This problem covers algebraic manipulation, rational functions, and properties of inequalities, making it ideal for students in Grades 10-12.

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