Pour montrer que l'expression $n(2n^2 + 1)$ est divisible par 3 pour un élève de collège, nous allons examiner les différents cas possibles pour $n$ en fonction de sa division par 3.

Étape 1 : Considérer les trois cas possibles pour $n$ mod 3

Quand on divise un nombre $n$ par 3, il reste soit 0, 1 ou 2. Nous allons examiner ces trois cas :

• Cas 1 : $n$ est divisible par 3 (c'est-à-dire $n \equiv 0 \mod 3$)
• Cas 2 : $n$ laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 3 (c'est-à-dire $n \equiv 1 \mod 3$)
• Cas 3 : $n$ laisse un reste de 2 lorsqu'on le divise par 3 (c'est-à-dire $n \equiv 2 \mod 3$)

Étape 2 : Vérification pour chaque cas

1. Cas 1 : $n \equiv 0 \mod 3$
   Si $n$ est divisible par 3, alors $n = 3k$ pour un certain entier $k$.
   Substituons $n = 3k$ dans l'expression : $n(2n^2 + 1) = 3k(2(3k)^2 + 1) = 3k(18k^2 + 1)$ Comme cette expression est un multiple de 3, elle est donc divisible par 3.

2. Cas 2 : $n \equiv 1 \mod 3$
   Si $n$ laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 3, alors $n = 3k + 1$ pour un certain entier $k$.
   Substituons $n = 3k + 1$ dans l'expression : $n(2n^2 + 1) = (3k + 1)(2(3k + 1)^2 + 1)$ Développons $(3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$, donc : $2(3k + 1)^2 + 1 = 2(9k^2 + 6k + 1) + 1 = 18k^2 + 12k + 3$ Et donc : $n(2n^2 + 1) = (3k + 1)(18k^2 + 12k + 3)$ Cette expression est clairement un multiple de 3, donc divisible par 3.

3. Cas 3 : $n \equiv 2 \mod 3$
   Si $n$ laisse un reste de 2 lorsqu'on le divise par 3, alors $n = 3k + 2$ pour un certain entier $k$.
   Substituons $n = 3k + 2$ dans l'expression : $n(2n^2 + 1) = (3k + 2)(2(3k + 2)^2 + 1)$ Développons $(3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4$, donc : $2(3k + 2)^2 + 1 = 2(9k^2 + 12k + 4) + 1 = 18k^2 + 24k + 9$ Et donc : $n(2n^2 + 1) = (3k + 2)(18k^2 + 24k + 9)$ Cette expression est aussi un multiple de 3, donc divisible par 3.

Conclusion

Dans tous les cas possibles, l'expression $n(2n^2 + 1)$ est un multiple de 3, donc elle est divisible par 3.

Veux-tu plus de détails ou as-tu des questions?

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Voici 5 questions pour approfondir :

1. Que se passe-t-il si l'on substitue des valeurs spécifiques de $n$ dans l'expression?
2. Comment vérifier si une expression est divisible par un autre nombre, par exemple 2 ou 5?
3. Peux-tu expliquer pourquoi $(n^2 \mod 3)$ est important dans ce type de démonstration?
4. Comment pourrait-on démontrer la divisibilité par 3 pour une autre expression, comme $n(n^2 + n + 1)$?
5. Qu'est-ce que cela signifie pour une expression d'être "divisible par 3"?

Conseil : En divisibilité, il est souvent utile de tester des petits nombres pour se faire une intuition avant de généraliser.