Montrer que n(2n^2+1) est divisible par 3 pour élève de collège 

Pour montrer que l'expression \( n(2n^2 + 1) \) est divisible par 3 pour un élève de collège, nous allons examiner les différents cas possibles pour \( n \) en fonction de sa division par 3.

### Étape 1 : Considérer les trois cas possibles pour \( n \) mod 3
Quand on divise un nombre \( n \) par 3, il reste soit 0, 1 ou 2. Nous allons examiner ces trois cas :

- **Cas 1 :** \( n \) est divisible par 3 (c'est-à-dire \( n \equiv 0 \mod 3 \))
- **Cas 2 :** \( n \) laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 3 (c'est-à-dire \( n \equiv 1 \mod 3 \))
- **Cas 3 :** \( n \) laisse un reste de 2 lorsqu'on le divise par 3 (c'est-à-dire \( n \equiv 2 \mod 3 \))

### Étape 2 : Vérification pour chaque cas

1. **Cas 1 : \( n \equiv 0 \mod 3 \)**  
   Si \( n \) est divisible par 3, alors \( n = 3k \) pour un certain entier \( k \).  
   Substituons \( n = 3k \) dans l'expression :
   \[
   n(2n^2 + 1) = 3k(2(3k)^2 + 1) = 3k(18k^2 + 1)
   \]
   Comme cette expression est un multiple de 3, elle est donc divisible par 3.

2. **Cas 2 : \( n \equiv 1 \mod 3 \)**  
   Si \( n \) laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 3, alors \( n = 3k + 1 \) pour un certain entier \( k \).  
   Substituons \( n = 3k + 1 \) dans l'expression :
   \[
   n(2n^2 + 1) = (3k + 1)(2(3k + 1)^2 + 1)
   \]
   Développons \( (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 \), donc :
   \[
   2(3k + 1)^2 + 1 = 2(9k^2 + 6k + 1) + 1 = 18k^2 + 12k + 3
   \]
   Et donc :
   \[
   n(2n^2 + 1) = (3k + 1)(18k^2 + 12k + 3)
   \]
   Cette expression est clairement un multiple de 3, donc divisible par 3.

3. **Cas 3 : \( n \equiv 2 \mod 3 \)**  
   Si \( n \) laisse un reste de 2 lorsqu'on le divise par 3, alors \( n = 3k + 2 \) pour un certain entier \( k \).  
   Substituons \( n = 3k + 2 \) dans l'expression :
   \[
   n(2n^2 + 1) = (3k + 2)(2(3k + 2)^2 + 1)
   \]
   Développons \( (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 \), donc :
   \[
   2(3k + 2)^2 + 1 = 2(9k^2 + 12k + 4) + 1 = 18k^2 + 24k + 9
   \]
   Et donc :
   \[
   n(2n^2 + 1) = (3k + 2)(18k^2 + 24k + 9)
   \]
   Cette expression est aussi un multiple de 3, donc divisible par 3.

### Conclusion
Dans tous les cas possibles, l'expression \( n(2n^2 + 1) \) est un multiple de 3, donc elle est divisible par 3.

Veux-tu plus de détails ou as-tu des questions?

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Voici 5 questions pour approfondir :

1. Que se passe-t-il si l'on substitue des valeurs spécifiques de \( n \) dans l'expression?
2. Comment vérifier si une expression est divisible par un autre nombre, par exemple 2 ou 5?
3. Peux-tu expliquer pourquoi \( (n^2 \mod 3) \) est important dans ce type de démonstration?
4. Comment pourrait-on démontrer la divisibilité par 3 pour une autre expression, comme \( n(n^2 + n + 1) \)?
5. Qu'est-ce que cela signifie pour une expression d'être "divisible par 3"?

**Conseil :** En divisibilité, il est souvent utile de tester des petits nombres pour se faire une intuition avant de généraliser.

Learn how to prove the divisibility of n(2n^2 + 1) by 3 using modular arithmetic and specific cases. This problem explores basic divisibility concepts suitable for middle school students.

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