Pour montrer que $n[(n^2) + 2]$ est un multiple de 3, il faut démontrer que l'expression est divisible par 3 pour tout entier $n$.

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Démonstration :

Nous allons examiner les différents cas pour $n$ modulo 3. Chaque entier $n$ peut prendre l'une des trois valeurs suivantes modulo 3 :

• $n \equiv 0 \pmod{3}$,
• $n \equiv 1 \pmod{3}$,
• $n \equiv 2 \pmod{3}$.

Cas 1 : $n \equiv 0 \pmod{3}$

Si $n \equiv 0 \pmod{3}$, alors $n = 3k$ pour un certain entier $k$. En substituant $n = 3k$ dans l'expression $n[(n^2) + 2]$, on obtient :

[ n[(n^2) + 2] = (3k)[(3k)^2 + 2]. ]

Développons $(3k)^2$ : [ n[(n^2) + 2] = (3k)[9k^2 + 2] = 3k(9k^2 + 2). ]

Le facteur $3$ est évident, donc $n[(n^2) + 2]$ est divisible par 3.

Cas 2 : $n \equiv 1 \pmod{3}$

Si $n \equiv 1 \pmod{3}$, alors $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Substituons dans l'expression $n[(n^2) + 2]$ modulo 3 :

[ n[(n^2) + 2] \equiv 1[(1) + 2] \pmod{3}. ]

Calculons l'intérieur des crochets : [ 1[(1) + 2] \equiv 1[3] \equiv 0 \pmod{3}. ]

Ainsi, $n[(n^2) + 2]$ est divisible par 3.

Cas 3 : $n \equiv 2 \pmod{3}$

Si $n \equiv 2 \pmod{3}$, alors $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$ (car $4 - 3 = 1$). Substituons dans l'expression $n[(n^2) + 2]$ modulo 3 :

[ n[(n^2) + 2] \equiv 2[(1) + 2] \pmod{3}. ]

Calculons l'intérieur des crochets : [ 2[(1) + 2] \equiv 2[3] \equiv 0 \pmod{3}. ]

Ainsi, $n[(n^2) + 2]$ est divisible par 3.

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Conclusion :

Dans tous les cas possibles ($n \equiv 0$, $n \equiv 1$, ou $n \equiv 2 \pmod{3}$), l'expression $n[(n^2) + 2]$ est divisible par 3. Donc, on peut conclure que :

$n[(n^2) + 2] \text{ est un multiple de 3.}$

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? Voici des questions pour approfondir :

1. Pourquoi est-il important de vérifier tous les cas $n \pmod{3}$ ?
2. Pouvez-vous expliquer comment $n^2$ affecte la divisibilité de $n[(n^2) + 2]$ ?
3. Y a-t-il une autre méthode pour démontrer ce résultat (par exemple, en développant différemment) ?
4. Que se passe-t-il si l'on change le modulo à 5 ou un autre entier ?
5. Quels autres types d'expressions sont faciles à analyser avec cette méthode modulo ?

Tip : L'analyse modulo est puissante pour tester la divisibilité dans des preuves arithmétiques simples.