Todistus: $n$ on kolmella jaollinen jos ja vain jos $n^2$ on kolmella jaollinen

1. Jos $n$ on kolmella jaollinen, niin $n^2$ on kolmella jaollinen
   Jos $n$ on kolmella jaollinen, voidaan kirjoittaa $n = 3k$, missä $k$ on kokonaisluku. Tällöin: $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2),$ joten $n^2$ on kolmella jaollinen.

2. Jos $n^2$ on kolmella jaollinen, niin $n$ on kolmella jaollinen
   Kolmella jaollisuudesta tiedetään, että jos $n^2$ on kolmella jaollinen, niin $n$ on myös kolmella jaollinen. Tämä perustuu siihen, että jos $n$ ei olisi kolmella jaollinen, jää $n$ jakojäännökselle 1 tai 2 mod 3:

   • Jos $n \equiv 1 \pmod{3}$, niin $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
   • Jos $n \equiv 2 \pmod{3}$, niin $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

   Molemmissa tapauksissa $n^2 \not\equiv 0 \pmod{3}$, joten $n^2$ ei voi olla kolmella jaollinen. Näin ollen, jos $n^2$ on kolmella jaollinen, täytyy $n$ olla kolmella jaollinen.

Päätelmä:

$n \text{ on kolmella jaollinen } \iff n^2 \text{ on kolmella jaollinen.}$

---

Vastaava väite neljällä jaollisuudelle

1. Jos $n$ on neljällä jaollinen, niin $n^2$ on neljällä jaollinen.

Jos $n$ on neljällä jaollinen, voidaan kirjoittaa $n = 4k$, missä $k$ on kokonaisluku. Tällöin: $n^2 = (4k)^2 = 16k^2 = 4(4k^2),$ joten $n^2$ on neljällä jaollinen.

2. Jos $n^2$ on neljällä jaollinen, niin $n$ on neljällä jaollinen.

Tämä väite ei kuitenkaan päde! Vastaväite:
Jos $n = 2$, niin $n^2 = 4$, joka on neljällä jaollinen, mutta $n$ itse ei ole neljällä jaollinen. Näin ollen $n^2$ voi olla neljällä jaollinen, vaikka $n$ ei ole neljällä jaollinen.

Päätelmä:

Vastaava väite ei päde neljällä jaollisuudelle, koska $n^2$ voi olla neljällä jaollinen ilman, että $n$ on neljällä jaollinen.

---

Kysymykset:

1. Mikä on jakojäännösmetodien rooli tämänkaltaisissa todistuksissa?
2. Miten voitaisiin yleistää tulos kolmella jaollisuudelle koskemaan mitä tahansa alkulukua?
3. Miten todistus muuttuisi, jos tarkasteltaisiin jaollisuutta kahdella?
4. Voiko $n^3$ olla kolmella jaollinen ilman että $n$ on kolmella jaollinen?
5. Miten neljällä jaollisuudelle löytynyt vastaväite liittyy neliölukujen yleisiin ominaisuuksiin?

Vinkki: Jaollisuusongelmien todistuksissa jakojäännösmetodi ($\mod m$) on usein tehokkain tapa!