Math Problem Statement
Soit (xn) et (yn) deux suites réelles bornées. Montrer que : | sup xn − sup yn| sup |xn − yn|
Solution
Soit et deux suites réelles bornées, nous devons montrer que :
Preuve :
-
Définitions :
- est la borne supérieure de la suite , c'est-à-dire la plus petite borne supérieure de .
- De même, est la borne supérieure de la suite .
- On souhaite comparer la différence entre ces deux bornes supérieures avec la borne supérieure de .
-
Encadrement des suites : Pour tout , on a l'inégalité : Cela implique que : En prenant la borne supérieure sur dans cette inégalité, on obtient :
-
Conclusion : Ainsi, on a montré que : Ce qui conclut la démonstration.
Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ?
Questions pour approfondir :
- Comment définir formellement la borne supérieure d'une suite ?
- Pourquoi la borne supérieure d'une somme ou différence de suites n'est pas triviale ?
- Peut-on généraliser ce raisonnement à des suites non bornées ?
- Comment montrer qu'une suite est bornée ?
- Quelles autres propriétés des bornes supérieures sont utiles dans l'analyse ?
Conseil :
Lorsqu’on compare des bornes supérieures, il est souvent utile de raisonner à partir des inégalités point par point pour exploiter les propriétés des suprema.
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Math Problem Analysis
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Formulas
| sup x_n − sup y_n | ≤ sup |x_n − y_n|
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