Soit (xn) et (yn) deux suites réelles bornées. Montrer
que :
| sup xn − sup yn|  sup |xn − yn|


Soit \((x_n)\) et \((y_n)\) deux suites réelles bornées, nous devons montrer que :

\[
| \sup x_n - \sup y_n | \leq \sup |x_n - y_n|.
\]

### Preuve :

1. **Définitions** :
   - \(\sup x_n\) est la borne supérieure de la suite \((x_n)\), c'est-à-dire la plus petite borne supérieure de \((x_n)\).
   - De même, \(\sup y_n\) est la borne supérieure de la suite \((y_n)\).
   - On souhaite comparer la différence entre ces deux bornes supérieures avec la borne supérieure de \(|x_n - y_n|\).

2. **Encadrement des suites** :
   Pour tout \(n\), on a l'inégalité :
   \[
   |x_n - y_n| \geq |x_n - \sup y_n|.
   \]
   Cela implique que :
   \[
   \sup |x_n - y_n| \geq |x_n - \sup y_n| \quad \text{pour tout} \ n.
   \]
   En prenant la borne supérieure sur \(n\) dans cette inégalité, on obtient :
   \[
   \sup |x_n - y_n| \geq |\sup x_n - \sup y_n|.
   \]

3. **Conclusion** :
   Ainsi, on a montré que :
   \[
   | \sup x_n - \sup y_n | \leq \sup |x_n - y_n|.
   \]
   Ce qui conclut la démonstration.

### Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ?

#### Questions pour approfondir :
1. Comment définir formellement la borne supérieure d'une suite ?
2. Pourquoi la borne supérieure d'une somme ou différence de suites n'est pas triviale ?
3. Peut-on généraliser ce raisonnement à des suites non bornées ?
4. Comment montrer qu'une suite est bornée ?
5. Quelles autres propriétés des bornes supérieures sont utiles dans l'analyse ?

#### Conseil : 
Lorsqu’on compare des bornes supérieures, il est souvent utile de raisonner à partir des inégalités point par point pour exploiter les propriétés des suprema.

Soit (xn) et (yn) deux suites réelles bornées. Montrer que : | sup xn − sup yn| ≤ sup |xn − yn|

Learn how to prove the inequality | sup x_n − sup y_n | ≤ sup |x_n − y_n| for two bounded real sequences. This problem covers advanced real analysis concepts, including sequences, supremum, and inequalities. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation