Math Problem Statement

Soit (xn) et (yn) deux suites réelles bornées. Montrer que : | sup xn − sup yn|  sup |xn − yn|

Solution

Soit (xn)(x_n) et (yn)(y_n) deux suites réelles bornées, nous devons montrer que :

supxnsupynsupxnyn.| \sup x_n - \sup y_n | \leq \sup |x_n - y_n|.

Preuve :

  1. Définitions :

    • supxn\sup x_n est la borne supérieure de la suite (xn)(x_n), c'est-à-dire la plus petite borne supérieure de (xn)(x_n).
    • De même, supyn\sup y_n est la borne supérieure de la suite (yn)(y_n).
    • On souhaite comparer la différence entre ces deux bornes supérieures avec la borne supérieure de xnyn|x_n - y_n|.
  2. Encadrement des suites : Pour tout nn, on a l'inégalité : xnynxnsupyn.|x_n - y_n| \geq |x_n - \sup y_n|. Cela implique que : supxnynxnsupynpour tout n.\sup |x_n - y_n| \geq |x_n - \sup y_n| \quad \text{pour tout} \ n. En prenant la borne supérieure sur nn dans cette inégalité, on obtient : supxnynsupxnsupyn.\sup |x_n - y_n| \geq |\sup x_n - \sup y_n|.

  3. Conclusion : Ainsi, on a montré que : supxnsupynsupxnyn.| \sup x_n - \sup y_n | \leq \sup |x_n - y_n|. Ce qui conclut la démonstration.

Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ?

Questions pour approfondir :

  1. Comment définir formellement la borne supérieure d'une suite ?
  2. Pourquoi la borne supérieure d'une somme ou différence de suites n'est pas triviale ?
  3. Peut-on généraliser ce raisonnement à des suites non bornées ?
  4. Comment montrer qu'une suite est bornée ?
  5. Quelles autres propriétés des bornes supérieures sont utiles dans l'analyse ?

Conseil :

Lorsqu’on compare des bornes supérieures, il est souvent utile de raisonner à partir des inégalités point par point pour exploiter les propriétés des suprema.

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| sup x_n − sup y_n | ≤ sup |x_n − y_n|

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