Да, можно доказать, что $(x_n - l \cdot y_n) / y_{n+1} < \epsilon / 2$, используя свойства последовательностей и предполагаемые условия теоремы Штольца. Для этого разберем шаги более детально:

Предположения теоремы Штольца:

1. $y_n \to \infty$, то есть последовательность $y_n$ возрастает бесконечно.
2. $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ заданы, и существует предел $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1} - y_n} = l$.
3. Неравенство для оценки $(x_n - l \cdot y_n)/y_{n+1}$ основывается на том, что числитель стремится к нулю, поскольку $x_n - l \cdot y_n$ является остаточным выражением относительно условия сходимости.

---

Шаг 1: Перепишем интересующий член

Выражение $(x_n - l \cdot y_n)/y_{n+1}$ можно представить в виде: $\frac{x_n - l \cdot y_n}{y_{n+1}} = \frac{x_n - l \cdot y_n}{y_n} \cdot \frac{y_n}{y_{n+1}}.$

Здесь важно, что $y_n / y_{n+1} \to 1$, так как $y_n$ возрастает. То есть, множитель $\frac{y_n}{y_{n+1}}$ близок к 1 для достаточно больших $n$.

---

Шаг 2: Сходимость числителя

Поскольку по предположению последовательность $\frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1} - y_n} \to l$, это означает, что отклонение $x_n - l \cdot y_n$ стабилизируется, и его рост (или убывание) подчинен свойствам $y_n$. Более того, $x_n - l \cdot y_n \to 0$, так как это условие вытекает из определения предела.

Следовательно, для любого $\epsilon > 0$ существует $N$, начиная с которого для всех $n > N$: $|x_n - l \cdot y_n| < \epsilon \cdot y_{n+1}.$

---

Шаг 3: Оценка для неравенства

Теперь перейдем к оценке: $\left|\frac{x_n - l \cdot y_n}{y_{n+1}}\right| = \frac{|x_n - l \cdot y_n|}{y_{n+1}}.$ Для достаточно больших $n$, по предыдущему пункту, выполнено: $\frac{|x_n - l \cdot y_n|}{y_{n+1}} < \frac{\epsilon \cdot y_{n+1}}{y_{n+1}} = \epsilon.$ Таким образом, выражение действительно меньше произвольного $\epsilon > 0$, а значит, оно стремится к 0 при $n \to \infty$.

---

Вывод

Таким образом, $(x_n - l \cdot y_n)/y_{n+1} < \epsilon / 2$ действительно выполняется для достаточно больших $n$. Это следует из того, что $x_n - l \cdot y_n$ стремится к 0 быстрее, чем растет $y_{n+1}$.

---

Если есть дополнительные вопросы по доказательству или шагам, я готов уточнить!

---

5 дополнительных вопросов:

1. Нужно ли расписать теорему Штольца более подробно с примерами?
2. Хотите ли увидеть строгое доказательство перехода числителя $x_n - l \cdot y_n \to 0$?
3. Интересно ли разобрать пример последовательностей $x_n$ и $y_n$, удовлетворяющих теореме Штольца?
4. Хотите ли пояснения, почему $y_n / y_{n+1} \to 1$?
5. Требуется ли более строгое объяснение оценки через $\epsilon / 2$?

Совет: Всегда проверяйте основные условия теоремы (например, монотонность и бесконечность $y_n$), чтобы быть уверенным в применимости.