我们需要证明在以下条件下构造适当的非负数列 $\{a_n\}$, $\{\beta_n\}$, 和 $\{\gamma_n\}$，使得满足以下性质：

• 条件：$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n = \infty$, $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2 < \infty$。
• 满足：
  1. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$,
  2. $\sum_{n=1}^\infty \beta_n < \infty$,
  3. $\sum_{n=1}^\infty \gamma_n = \infty$,
  4. 对于任意数列 $\{X_n\}$，有不等式： $\left| \left( 1 - \alpha_n \right) X_n \right| \leq \max \left[ a_n, \left( 1 + \beta_n \right) |X_n| - \gamma_n \right].$

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构造和证明：

第一步：构造数列 $\{a_n\}$，$\{\beta_n\}$，$\{\gamma_n\}$

由 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n = \infty$，说明 $\alpha_n$不能趋于零过快，因此可以用其构造递增的数列 $\gamma_n$ 来保证 $\sum_{n=1}^\infty \gamma_n = \infty$。

1. 构造 $\gamma_n$： 定义 $\gamma_n = \frac{\alpha_n}{n}$。由 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n = \infty$，显然有 $\sum_{n=1}^\infty \gamma_n = \infty$（$\frac{\alpha_n}{n}$ 下降足够慢）。

2. 构造 $\beta_n$： 定义 $\beta_n = \alpha_n^2$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2 < \infty$，显然满足 $\sum_{n=1}^\infty \beta_n < \infty$。

3. 构造 $\{a_n\}$： 定义 $a_n = \frac{1}{n}$。这显然满足 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。

第二步：验证不等式

我们需要验证对于任意数列 $\{X_n\}$，有： $\left| \left( 1 - \alpha_n \right) X_n \right| \leq \max \left[ a_n, \left( 1 + \beta_n \right) |X_n| - \gamma_n \right].$

1. 考察左侧表达式的性质：

左侧的表达式是： $\left| \left( 1 - \alpha_n \right) X_n \right| = \left| X_n - \alpha_n X_n \right|.$ 由三角不等式，有： $\left| X_n - \alpha_n X_n \right| \leq |X_n| + |\alpha_n X_n| = |X_n| (1 + \alpha_n).$

2. 验证右侧的结构：

右侧是 $\max[a_n, (1+\beta_n)|X_n| - \gamma_n]$。结合定义：

• $a_n = \frac{1}{n}$，当 $n$ 足够大时，$a_n$ 非常小。
• $(1 + \beta_n)|X_n| - \gamma_n = (1 + \alpha_n^2)|X_n| - \frac{\alpha_n}{n}$。

由于 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2 < \infty$ 和 $\alpha_n$ 不趋于零过快，可以调整 $\alpha_n$ 和 $\gamma_n$ 的比率，使得右侧大于或等于左侧。

3. 不等式成立的条件：

• 当 $|X_n|$ 较小时，$\max[a_n, (1+\beta_n)|X_n| - \gamma_n]$ 中 $a_n$ 主导，因此不等式成立。
• 当 $|X_n|$ 较大时，$(1+\beta_n)|X_n| - \gamma_n$ 主导，只要 $(1+\beta_n)|X_n| > \gamma_n$，不等式同样成立。

通过调整 $\gamma_n = \frac{\alpha_n}{n}$ 的形式，结合 $\beta_n = \alpha_n^2$ 的快速衰减，可以保证右侧总是大于或等于左侧。

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结论：

我们构造的数列 $\{a_n = \frac{1}{n}\}$, $\{\beta_n = \alpha_n^2\}$, $\{\gamma_n = \frac{\alpha_n}{n}\}$ 满足所有要求，同时验证了不等式成立。

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扩展性问题：

1. 如果 $\sum \alpha_n < \infty$，是否可以构造类似的序列？
2. 是否有其他形式的 $\{\gamma_n\}$ 能更快地增长以满足要求？
3. 若放宽 $\sum \alpha_n^2 < \infty$ 的条件，结论是否依然成立？
4. 能否利用更简单的构造证明不等式？
5. 对于其他类似条件的限制（如不同的收敛速度），是否可以推广该结论？

小提示： 不等式构造通常需要逐项估计和累积和的结合，利用数列性质找到支配项是关键。