我们需要证明在给定的条件下，能够构造出非负数列 $\{a_n\}$, $\{\beta_n\}$, 和 $\{\gamma_n\}$，使得所有 $\{X_n\}$ 均满足所需的不等式。

条件回顾

1. $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n = \infty$,
2. $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2 < \infty$.

要求构造数列 $\{a_n\}, \{\beta_n\}, \{\gamma_n\}$，使得：

1. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$,
2. $\sum_{n=1}^\infty \beta_n < \infty$,
3. $\sum_{n=1}^\infty \gamma_n = \infty$,
4. 对所有的 $\{X_n\}$，都有 $\left| \left(1 - \alpha_n\right) X_n \right| \leq \max\left[a_n, \left(1 + \beta_n\right)\left|X_n\right| - \gamma_n\right].$

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证明

我们依次构造三个数列。

1. 构造 $\{a_n\}$

为了满足 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，可以直接定义 $a_n = \frac{1}{n}.$ 显然，$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，满足条件 (i)。

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2. 构造 $\{\beta_n\}$

为了满足 $\sum_{n=1}^\infty \beta_n < \infty$，我们可以利用 $\alpha_n^2$ 的收敛性，定义 $\beta_n = C \alpha_n^2,$ 其中 $C > 0$ 是常数。由于 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2 < \infty$，则有 $\sum_{n=1}^\infty \beta_n = C \sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2 < \infty.$ 因此，$\{\beta_n\}$ 满足条件 (ii)。

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3. 构造 $\{\gamma_n\}$

为了满足 $\sum_{n=1}^\infty \gamma_n = \infty$，我们利用 $\alpha_n$ 的发散性，定义 $\gamma_n = \frac{\alpha_n}{2}.$ 由于 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n = \infty$，显然 $\sum_{n=1}^\infty \gamma_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \alpha_n = \infty.$ 因此，$\{\gamma_n\}$ 满足条件 (iii)。

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验证不等式

为了验证 $\left| \left(1 - \alpha_n\right) X_n \right| \leq \max\left[a_n, \left(1 + \beta_n\right)\left|X_n\right| - \gamma_n\right],$ 我们进行分析。

1. 对于 $\left(1 - \alpha_n\right) X_n$，可以写作： $\left| \left(1 - \alpha_n\right) X_n \right| = \left| X_n - \alpha_n X_n \right|.$

2. 取 $\max[a_n, \cdot]$ 的作用是确保当 $|X_n|$ 较小时（例如趋近 0），不等式依然成立。因此构造的 $a_n = \frac{1}{n}$ 是一个界限。

3. 当 $|X_n|$ 较大时，由于 $\left(1 + \beta_n\right)\left|X_n\right| - \gamma_n \sim |X_n|,$ 不等式右边主导，依然成立。

综上，所构造的数列满足所需条件。

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总结

我们构造了以下数列：

1. $a_n = \frac{1}{n}$,
2. $\beta_n = C \alpha_n^2$（$C > 0$ 是常数）,
3. $\gamma_n = \frac{\alpha_n}{2}$.

这些数列满足所有条件，并使得不等式成立。

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如果有更多疑问或需要进一步细化，可以随时提出！

相关问题扩展

1. 如果 $\alpha_n$ 的增长速度不同（如更快或更慢），如何调整 $\beta_n$ 和 $\gamma_n$？
2. 是否可以对 $\gamma_n$ 的增长速度给出更精确的限制条件？
3. 如何理解不等式中的最大值操作的实际作用？
4. 若 $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2$ 恰好发散，会发生什么？
5. 如果放宽 $\beta_n$ 的收敛性条件，有无更多构造方式？

小提示

数列的构造通常结合已知条件的收敛或发散性，灵活利用权重调整即可满足不等式约束。