Osoitetaan, että relaatio $\sim$ on ekvivalenssirelaatio. Tämä tarkoittaa, että relaatio $\sim$ täyttää seuraavat kolme ominaisuutta:

1. Refleksiivisyys: $x \sim x$ kaikilla $x \in X$,
2. Symmetrisyys: Jos $x \sim y$, niin $y \sim x$,
3. Transitiivisuus: Jos $x \sim y$ ja $y \sim z$, niin $x \sim z$.

---

1. Refleksiivisyys

Koska $P$ on joukon $X$ ositus, jokainen $x \in X$ kuuluu täsmälleen yhteen osajoukkoon $A \in P$. Tällöin on selvää, että $x \sim x$, koska $x \in A$ ja $x, x \in A$. Tästä seuraa, että relaatio $\sim$ on refleksiivinen.

---

2. Symmetrisyys

Oletetaan, että $x \sim y$. Tämä tarkoittaa, että $x, y \in A$ jollekin $A \in P$. Koska $x$ ja $y$ ovat samassa osajoukossa $A$, on myös $y \sim x$ määritelmän nojalla. Näin ollen $\sim$ on symmetrinen.

---

3. Transitiivisuus

Oletetaan, että $x \sim y$ ja $y \sim z$. Tämä tarkoittaa, että on olemassa $A, B \in P$ siten, että $x, y \in A$ ja $y, z \in B$. Koska $P$ on ositus, mitkä tahansa kaksi osajoukkoa $A$ ja $B$ ovat joko samat ($A = B$) tai erilliset ($A \cap B = \emptyset$). Tässä tapauksessa $y \in A \cap B$, joten $A = B$. Tästä seuraa, että $x, z \in A$, ja siten $x \sim z$. Näin ollen relaatio $\sim$ on transitiivinen.

---

Johtopäätös

Koska $\sim$ täyttää refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdot, se on ekvivalenssirelaatio.

---

Haluatko tarkemman selityksen joistakin kohdista tai lisäesimerkkejä? 😊

5 jatkokysymystä:

1. Mitä tarkoitetaan joukon osituksella?
2. Miten ositus liittyy ekvivalenssirelaatioon yleisesti?
3. Voiko osituksen avulla aina määritellä ekvivalenssirelaation?
4. Onko olemassa ekvivalenssirelaatioita, jotka eivät liity ositukseen?
5. Miten ekvivalenssiluokkia käytetään käytännössä matematiikassa?

Vinkki:

Kun todistat ominaisuuksia ekvivalenssirelaatiolle, hyödynnä täsmällisesti annetun relaatioehdon määritelmää — tässä tapauksessa osituksen määritelmää!