Jotta voimme osoittaa, että relaatio $\sim$ on ekvivalenssirelaatio, meidän on todistettava, että $\sim$ täyttää kolme ehtoa: refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden.

---

1. Refleksiivisyys

Relaation $\sim$ on oltava refleksiivinen, eli $x \sim x$ kaikille $x \in X$.

• Oletuksen mukaan $P$ on joukon $X$ ositus. Osituksen määritelmän mukaan jokainen $x \in X$ kuuluu täsmälleen yhteen osajoukkoon $A \in P$.
• Jos $x \in A$, niin $x \sim x$ relaatioehdon perusteella, koska $x, x \in A$ jollekin $A \in P$.

Siten refleksiivisyys pätee.

---

2. Symmetrisyys

Relaation $\sim$ on oltava symmetrinen, eli jos $x \sim y$, niin $y \sim x$.

• Oletetaan, että $x \sim y$. Relaatioehdon mukaan tämä tarkoittaa, että on olemassa osajoukko $A \in P$, niin että $x, y \in A$.
• Osituksen määritelmän mukaan osajoukossa $A$ ei ole merkitystä jäsenten järjestyksellä; siis $y, x \in A$.
• Tämä tarkoittaa, että myös $y \sim x$.

Siten symmetrisyys pätee.

---

3. Transitiivisuus

Relaation $\sim$ on oltava transitiivinen, eli jos $x \sim y$ ja $y \sim z$, niin $x \sim z$.

• Oletetaan, että $x \sim y$ ja $y \sim z$. Relaatioehdon mukaan on olemassa osajoukko $A \in P$, niin että $x, y \in A$, ja toinen osajoukko $B \in P$, niin että $y, z \in B$.
• Koska $P$ on ositus, mikään $x \in X$ ei voi kuulua samanaikaisesti kahteen eri osajoukkoon. Siten $A = B$, ja kaikki kolme alkiota $x, y, z$ kuuluvat samaan osajoukkoon.
• Tämä tarkoittaa, että $x \sim z$.

Siten transitiivisuus pätee.

---

Johtopäätös

Koska relaatio $\sim$ täyttää refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden, se on ekvivalenssirelaatio.

---

Haluatko lisätietoja todistuksen yksityiskohdista? Tässä on 5 lisäkysymystä, joita voit pohtia:

1. Mikä ero on osituksen ja yleisen relaatiojakauman välillä?
2. Voidaanko tämä ekvivalenssirelaation määritelmä yleistää äärettömille joukoille?
3. Kuinka ekvivalenssiluokat liittyvät osituksen elementteihin?
4. Voiko ositus muuttua, jos lisätään uusia relaatioehtoja?
5. Miten tällainen ekvivalenssirelaatio käytännössä toteutuu geometriassa?

Vinkki: Ajattele ekvivalenssirelaatioita visuaalisesti luokittelemalla alkioita samanlaisuuden perusteella!