Näytetään, että relaatio $\sim$ on ekvivalenssirelaatio joukolla $\mathbb{Z}$. Ekvivalenssirelaatiolle tulee täyttyä kolme ehtoa: refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus.

1. Refleksiivisyys

Relaatio $\sim$ on refleksiivinen, jos jokaiselle $m \in \mathbb{Z}$ pätee $m \sim m$.

Tarkastellaan ehtoa $n - m$ jaollinen $p$:
Kun $n = m$, niin $n - m = m - m = 0$. Luku $0$ on jaollinen kaikilla luonnollisilla luvuilla $p$.
Siten $m \sim m$, joten relaatio on refleksiivinen.

---

2. Symmetrisyys

Relaatio $\sim$ on symmetrinen, jos jokaiselle $m, n \in \mathbb{Z}$ pätee, että $m \sim n$ tarkoittaa $n \sim m$.

Jos $m \sim n$, niin $n - m$ on jaollinen $p$, eli on olemassa $k \in \mathbb{Z}$, siten että $n - m = kp.$

Käänteisesti: $m - n = -(n - m) = -kp.$ Koska $-kp$ on myös jaollinen $p$ (koska jaollisuus säilyy negatiivisille kerroille), seuraa, että $n \sim m$.
Näin ollen relaatio on symmetrinen.

---

3. Transitiivisuus

Relaatio $\sim$ on transitiivinen, jos jokaiselle $m, n, l \in \mathbb{Z}$ pätee, että $m \sim n$ ja $n \sim l$ tarkoittaa $m \sim l$.

Oletetaan: m \sim n \implies n - m = kp \quad \text{(jollakin k \in \mathbb{Z})}, ja n \sim l \implies l - n = hp \quad \text{(jollakin h \in \mathbb{Z})}.

Yhdistämällä nämä: $l - m = (l - n) + (n - m) = hp + kp = (h + k)p.$ Koska $l - m$ on jaollinen $p$, seuraa $m \sim l$.
Näin ollen relaatio on transitiivinen.

---

Johtopäätös

Koska $\sim$ on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, se on ekvivalenssirelaatio joukolla $\mathbb{Z}$.

---

Haluatko lisää yksityiskohtia tai kysymyksiä tästä aiheesta? Tässä 5 aiheeseen liittyvää kysymystä:

1. Mitä ovat ekvivalenssiluokat suhteessa tähän relaatioon $\sim$?
2. Miten ekvivalenssiluokkia voidaan esittää, kun $p = 3$?
3. Miten relaatio voidaan visualisoida lukusuoralla?
4. Mitä tarkoittaa, että ekvivalenssiluokat jakavat joukon $\mathbb{Z}$ osajoukkoihin?
5. Voiko relaatio lakata olemasta ekvivalenssirelaatio, jos $p$ ei ole luonnollinen luku?

Vinkki: Ekvivalenssirelaation määrittämässä joukossa voit tarkastella eri $p$-arvojen vaikutusta käytännön esimerkkien avulla.