Докажите, что любая периодическая десятичная дробь представляет рациональное число через ряды

Для доказательства того, что любая периодическая десятичная дробь представляет рациональное число, можно воспользоваться понятием **бесконечного ряда**. Пусть \( x \) — периодическая десятичная дробь. Для простоты рассмотрим, что периодическая часть начинается сразу после десятичной запятой. 

### Шаг 1: Запись периодической десятичной дроби через ряд
Пусть \( x = a_0.a_1a_2 \dots a_k\overline{b_1b_2 \dots b_n} \), где \( a_0.a_1a_2 \dots a_k \) — это непериодическая часть дроби (конечная десятичная дробь), а \( \overline{b_1b_2 \dots b_n} \) — это периодическая часть (повторяющаяся бесконечно).

Тогда, дробь можно записать как сумму двух частей:

\[
x = N + p
\]
где \( N = a_0.a_1a_2 \dots a_k \) — это конечная десятичная дробь (непериодическая часть) и её можно записать как рациональное число, а \( p \) — периодическая часть дроби.

### Шаг 2: Выражение периодической части через геометрическую прогрессию
Теперь сосредоточимся на \( p \), которая представляет собой периодическую часть \( 0.\overline{b_1b_2 \dots b_n} \). Эта часть дроби повторяется с длиной периода \( n \). Запишем это как бесконечную сумму:

\[
p = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+2n}} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+3n}} + \dots
\]

### Шаг 3: Преобразование ряда в дробь
Эта сумма является **геометрической прогрессией** с первым членом \( a_1 = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}} \) и знаменателем \( q = \frac{1}{10^n} \).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии \( S \) с первым членом \( a_1 \) и знаменателем \( q \) равна:

\[
S = \frac{a_1}{1 - q}
\]

Подставляем наши значения:

\[
p = \frac{\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}}}{1 - \frac{1}{10^n}} = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}(1 - \frac{1}{10^n})}
\]

Упрощая:

\[
p = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n} - 10^k}
\]

### Шаг 4: Представление числа как рациональной дроби
Теперь полное число \( x \) выражается как:

\[
x = N + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n} - 10^k}
\]

Так как \( N \) — рациональное число (это конечная десятичная дробь), и \( \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n} - 10^k} \) — это тоже рациональная дробь (отношение двух целых чисел), то сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

### Заключение:
Таким образом, любое периодическое десятичное число можно выразить в виде суммы рациональных чисел, что доказывает, что оно является рациональным числом.

---

Если хотите уточнений или вопросов, дайте знать!

**Относительные вопросы:**
1. Как выразить бесконечную непериодическую дробь через ряды?
2. Как найти сумму геометрической прогрессии?
3. Как доказать, что конечная десятичная дробь также является рациональным числом?
4. Как представлять иррациональные числа в виде рядов?
5. Как преобразовать периодическую дробь, если период начинается не сразу?

**Совет:** Всегда проверяйте, можно ли дробь представить в виде рациональной через её десятичное разложение, чтобы быстрее находить её аналитическое выражение.

Explore a step-by-step proof showing how any periodic decimal fraction can be represented as a rational number using geometric series. This solution covers key mathematical concepts including decimal expansion, infinite series, and rational numbers, aimed at students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation