Для доказательства того, что любая периодическая десятичная дробь представляет рациональное число, можно воспользоваться понятием бесконечного ряда. Пусть $x$ — периодическая десятичная дробь. Для простоты рассмотрим, что периодическая часть начинается сразу после десятичной запятой.

Шаг 1: Запись периодической десятичной дроби через ряд

Пусть $x = a_0.a_1a_2 \dots a_k\overline{b_1b_2 \dots b_n}$, где $a_0.a_1a_2 \dots a_k$ — это непериодическая часть дроби (конечная десятичная дробь), а $\overline{b_1b_2 \dots b_n}$ — это периодическая часть (повторяющаяся бесконечно).

Тогда, дробь можно записать как сумму двух частей:

$x = N + p$ где $N = a_0.a_1a_2 \dots a_k$ — это конечная десятичная дробь (непериодическая часть) и её можно записать как рациональное число, а $p$ — периодическая часть дроби.

Шаг 2: Выражение периодической части через геометрическую прогрессию

Теперь сосредоточимся на $p$, которая представляет собой периодическую часть $0.\overline{b_1b_2 \dots b_n}$. Эта часть дроби повторяется с длиной периода $n$. Запишем это как бесконечную сумму:

$p = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+2n}} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+3n}} + \dots$

Шаг 3: Преобразование ряда в дробь

Эта сумма является геометрической прогрессией с первым членом $a_1 = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}}$ и знаменателем $q = \frac{1}{10^n}$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$ равна:

$S = \frac{a_1}{1 - q}$

Подставляем наши значения:

$p = \frac{\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}}}{1 - \frac{1}{10^n}} = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n}(1 - \frac{1}{10^n})}$

Упрощая:

$p = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n} - 10^k}$

Шаг 4: Представление числа как рациональной дроби

Теперь полное число $x$ выражается как:

$x = N + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n} - 10^k}$

Так как $N$ — рациональное число (это конечная десятичная дробь), и $\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^{k+n} - 10^k}$ — это тоже рациональная дробь (отношение двух целых чисел), то сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Заключение:

Таким образом, любое периодическое десятичное число можно выразить в виде суммы рациональных чисел, что доказывает, что оно является рациональным числом.

---

Если хотите уточнений или вопросов, дайте знать!

Относительные вопросы:

1. Как выразить бесконечную непериодическую дробь через ряды?
2. Как найти сумму геометрической прогрессии?
3. Как доказать, что конечная десятичная дробь также является рациональным числом?
4. Как представлять иррациональные числа в виде рядов?
5. Как преобразовать периодическую дробь, если период начинается не сразу?

Совет: Всегда проверяйте, можно ли дробь представить в виде рациональной через её десятичное разложение, чтобы быстрее находить её аналитическое выражение.