Докажите, что любая периодическая десятичная дробь представляет рациональное число через ряды

Доказательство того, что любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом через представление в виде ряда, можно провести следующим образом:

### Пусть \( x \) — периодическая десятичная дробь.
Допустим, что эта дробь имеет вид:

\[
x = a_0.a_1a_2 \dots a_k(b_1b_2 \dots b_n)\overline{b_1b_2 \dots b_n}
\]

где:
- \( a_0 \) — целая часть;
- \( a_1a_2 \dots a_k \) — непериодическая часть (необязательно присутствует);
- \( b_1b_2 \dots b_n \) — период длины \( n \).

### Представим дробь как сумму ряда.
Периодическая десятичная дробь \( x \) может быть представлена как:

\[
x = a_0 + \frac{a_1a_2 \dots a_k}{10^k} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \left( 1 + \frac{1}{10^n} + \frac{1}{10^{2n}} + \dots \right)
\]

### Преобразуем бесконечную сумму.
Часть, которая связана с периодом, можно записать как бесконечную геометрическую прогрессию:

\[
\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \left( 1 + \frac{1}{10^n} + \frac{1}{10^{2n}} + \dots \right)
\]

Эта прогрессия является геометрическим рядом с первым членом \( a = 1 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{10^n} \). Сумма бесконечного геометрического ряда вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{a}{1 - q}
\]

Для нашего случая:

\[
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{10^n}} = \frac{1}{\frac{10^n - 1}{10^n}} = \frac{10^n}{10^n - 1}
\]

Таким образом, общая сумма ряда, связанного с периодом, будет:

\[
\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \cdot \frac{10^n}{10^n - 1} = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \cdot \frac{1}{10^n - 1}
\]

### Итоговое выражение.
Теперь \( x \) можно записать как сумму двух рациональных чисел:

\[
x = a_0 + \frac{a_1a_2 \dots a_k}{10^k} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \cdot \frac{1}{10^n - 1}
\]

Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то и \( x \) является рациональным числом.

### Заключение:
Мы доказали, что любая периодическая десятичная дробь может быть выражена через сумму геометрического ряда, и в результате представлена как отношение двух целых чисел, то есть она является рациональным числом.

---

**Хотите, чтобы я подробнее разобрал этот процесс или есть ли вопросы?**

### 5 вопросов для расширения темы:
1. Как доказать, что непериодическая десятичная дробь не является рациональным числом?
2. Можете объяснить связь между периодическими дробями и дробями в виде отношений целых чисел?
3. Какие другие типы чисел можно описать через бесконечные ряды?
4. Как использовать ряды для приближенного вычисления иррациональных чисел, таких как \( \pi \) или \( e \)?
5. Можно ли применить данный метод к бесконечным дробям с другим основанием, например, двоичным?

### Советы:
**Совет**: При работе с геометрическими рядами всегда проверяйте условие сходимости \( |q| < 1 \), так как это необходимо для корректного вычисления суммы бесконечной прогрессии.

Подробное доказательство того, что любая периодическая десятичная дробь может быть представлена как рациональное число через сумму геометрического ряда. Включает ключевые математические формулы и понятия, применимые для старших школьников и студентов.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation