Доказательство того, что любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом через представление в виде ряда, можно провести следующим образом:

Пусть $x$ — периодическая десятичная дробь.

Допустим, что эта дробь имеет вид:

$x = a_0.a_1a_2 \dots a_k(b_1b_2 \dots b_n)\overline{b_1b_2 \dots b_n}$

где:

• $a_0$ — целая часть;
• $a_1a_2 \dots a_k$ — непериодическая часть (необязательно присутствует);
• $b_1b_2 \dots b_n$ — период длины $n$.

Представим дробь как сумму ряда.

Периодическая десятичная дробь $x$ может быть представлена как:

$x = a_0 + \frac{a_1a_2 \dots a_k}{10^k} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \left( 1 + \frac{1}{10^n} + \frac{1}{10^{2n}} + \dots \right)$

Преобразуем бесконечную сумму.

Часть, которая связана с периодом, можно записать как бесконечную геометрическую прогрессию:

$\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \left( 1 + \frac{1}{10^n} + \frac{1}{10^{2n}} + \dots \right)$

Эта прогрессия является геометрическим рядом с первым членом $a = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{10^n}$. Сумма бесконечного геометрического ряда вычисляется по формуле:

$S = \frac{a}{1 - q}$

Для нашего случая:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{10^n}} = \frac{1}{\frac{10^n - 1}{10^n}} = \frac{10^n}{10^n - 1}$

Таким образом, общая сумма ряда, связанного с периодом, будет:

$\frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \cdot \frac{10^n}{10^n - 1} = \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \cdot \frac{1}{10^n - 1}$

Итоговое выражение.

Теперь $x$ можно записать как сумму двух рациональных чисел:

$x = a_0 + \frac{a_1a_2 \dots a_k}{10^k} + \frac{b_1b_2 \dots b_n}{10^k} \cdot \frac{1}{10^n - 1}$

Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то и $x$ является рациональным числом.

Заключение:

Мы доказали, что любая периодическая десятичная дробь может быть выражена через сумму геометрического ряда, и в результате представлена как отношение двух целых чисел, то есть она является рациональным числом.

---

Хотите, чтобы я подробнее разобрал этот процесс или есть ли вопросы?

5 вопросов для расширения темы:

1. Как доказать, что непериодическая десятичная дробь не является рациональным числом?
2. Можете объяснить связь между периодическими дробями и дробями в виде отношений целых чисел?
3. Какие другие типы чисел можно описать через бесконечные ряды?
4. Как использовать ряды для приближенного вычисления иррациональных чисел, таких как $\pi$ или $e$?
5. Можно ли применить данный метод к бесконечным дробям с другим основанием, например, двоичным?

Советы:

Совет: При работе с геометрическими рядами всегда проверяйте условие сходимости $|q| < 1$, так как это необходимо для корректного вычисления суммы бесконечной прогрессии.