Для доказательства того, что данные линии пересекаются под прямым углом, необходимо показать, что их угловые коэффициенты ($k_1$ и $k_2$) связаны следующим образом:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

Уравнения линий:

1. $y_1^2 = 2ax + a^2$
2. $y_2^2 = -2bx + b^2$

Найдем производные (первый шаг — привести линии к виду $y = f(x)$):

Для первой линии $y_1^2 = 2ax + a^2$: $\frac{d(y_1^2)}{dx} = 2a \implies 2y_1 \frac{dy_1}{dx} = 2a \implies \frac{dy_1}{dx} = \frac{a}{y_1}$

Для второй линии $y_2^2 = -2bx + b^2$: $\frac{d(y_2^2)}{dx} = -2b \implies 2y_2 \frac{dy_2}{dx} = -2b \implies \frac{dy_2}{dx} = \frac{-b}{y_2}$

Угловые коэффициенты:

1. Угловой коэффициент первой линии: $k_1 = \frac{a}{y_1}$
2. Угловой коэффициент второй линии: $k_2 = \frac{-b}{y_2}$

Проверим условие ортогональности:

Перемножим угловые коэффициенты: $k_1 \cdot k_2 = \frac{a}{y_1} \cdot \frac{-b}{y_2} = -\frac{ab}{y_1 y_2}$

На точке пересечения: $y_1^2 = y_2^2 \implies y_1 = \pm y_2$

Если $y_1 = y_2$, то:

$k_1 \cdot k_2 = -\frac{ab}{y_1^2} = -\frac{ab}{2ax + a^2}$

Если $y_1 = -y_2$, то результат ((-\mathbf{ноль / угловое упр.?)