Обозначим через O вершину параболы y = ax^2. Назовём прямую, пересекающую параболу в двух точках A и B, особой, если угол AOB – прямой. Докажите, что все особые прямые проходят через одну точку.

Рассмотрим параболу \( y = ax^2 \) с вершиной в точке \( O(0, 0) \). Пусть прямая, проходящая через две точки \( A(x_1, ax_1^2) \) и \( B(x_2, ax_2^2) \), является особой, то есть угол \( AOB \) прямой.

Для того чтобы угол \( AOB \) был прямым, векторное произведение векторов \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OB} \) должно быть равно нулю. Векторы \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OB} \) имеют координаты:
\[
\overrightarrow{OA} = (x_1, ax_1^2), \quad \overrightarrow{OB} = (x_2, ax_2^2)
\]

Векторное произведение векторов \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OB} \) в двумерном пространстве можно вычислить по формуле:
\[
\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = x_1 \cdot ax_2^2 - x_2 \cdot ax_1^2
\]

Поскольку угол \( AOB \) прямой, то векторное произведение должно быть равно нулю:
\[
x_1 \cdot ax_2^2 - x_2 \cdot ax_1^2 = 0
\]
\[
ax_1 x_2^2 = ax_2 x_1^2
\]
\[
x_1 x_2 (x_2 - x_1) = 0
\]

Из этого равенства следует, что либо \( x_1 = 0 \), либо \( x_2 = 0 \), либо \( x_1 = x_2 \).

1. Если \( x_1 = 0 \), то точка \( A \) находится в вершине параболы \( O(0, 0) \).
2. Если \( x_2 = 0 \), то точка \( B \) находится в вершине параболы \( O(0, 0) \).
3. Если \( x_1 = x_2 \), то точки \( A \) и \( B \) совпадают, и прямая \( AB \) вырождается в одну точку.

Рассмотрим случай, когда \( x_1 \neq 0 \) и \( x_2 \neq 0 \). Тогда для того чтобы угол \( AOB \) был прямым, \( x_1 \) и \( x_2 \) должны удовлетворять условию \( x_1 x_2 = 0 \), что означает, что одна из точек обязательно находится на оси \( y \) (то есть \( x = 0 \)), что приводит нас к вершине параболы.

Теперь рассмотрим геометрическую интерпретацию этого результата. В случае, когда \( x_1 \) и \( x_2 \) не равны нулю и не равны друг другу, угол \( AOB \) прямым не будет. Это означает, что все прямые, пересекающие параболу и образующие прямой угол с осью \( y \), должны проходить через вершину параболы \( O \), что означает, что они пересекают параболу в одной общей точке, называемой фокусом параболы.

Таким образом, доказано, что все особые прямые проходят через одну точку, которая является фокусом параболы.

**Вопросы для размышления:**
1. Как изменится решение, если уравнение параболы будет \( y = ax^2 + bx + c \)?
2. Каким образом можно найти фокус параболы с данным уравнением?
3. Какое значение имеет коэффициент \( a \) для наклона особой прямой?
4. Можно ли обобщить это свойство на другие кривые второго порядка, такие как эллипс или гипербола?
5. Какова геометрическая интерпретация угловых условий для других типов кривых?

**Совет:** Для исследования кривых второго порядка полезно понимать фокусные свойства и использование координатного метода в аналитической геометрии.

Explore the proof that all special lines intersecting a parabola at points A and B, forming a right angle at the vertex, intersect at a single point. This mathematical analysis involves vector geometry and quadratic equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation