Для доказательства воспользуемся определением предела последовательности.

Пусть $\lim(a_n) = A$. Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $N_1 \in \mathbb{N}$, что для всех $n \geq N_1$ выполняется: $|a_n - A| < \varepsilon.$

Теперь рассмотрим последовательность $b_n = a_{n+N}$, где $N$ — фиксированное натуральное число. Нам нужно доказать, что $\lim(b_n) = A$.

Пусть $\varepsilon > 0$ — произвольное положительное число. Поскольку $\lim(a_n) = A$, то найдётся такое $N_1$, что для всех $n \geq N_1$: $|a_n - A| < \varepsilon.$

Теперь рассмотрим последовательность $b_n = a_{n+N}$. Для всех $n \geq N_1$ имеем $n + N \geq N_1$, значит: $|b_n - A| = |a_{n+N} - A| < \varepsilon.$

Таким образом, для последовательности $b_n = a_{n+N}$ выполнено условие: $|b_n - A| < \varepsilon \quad \text{при всех } n \geq N_1,$ что по определению предела означает, что $\lim(b_n) = A$.

Следовательно, $\lim(a_{n+N}) = A$, что и требовалось доказать.

Есть ли вопросы по доказательству?

Дополнительные вопросы:

1. Можно ли обобщить утверждение для произвольной конечной последовательности $a_{n+N}$?
2. Как изменится доказательство, если рассмотреть более общую функцию $f(a_n)$ вместо $a_{n+N}$?
3. Будет ли верно утверждение для комплексных чисел $a_n$ и $A$?
4. Как влияет константа $N$ на скорость сходимости последовательности?
5. Может ли утверждение нарушиться для бесконечно больших $N$?

Совет: Для работы с пределами последовательностей удобно представлять их как стремление всех членов последовательности к одной точке на числовой прямой или в пространстве.