Pour démontrer par raisonnement par l'absurde que, pour tout $x \in \mathbb{N}^*$, $\frac{\sqrt{x}}{x+1} \notin \mathbb{Q}$ (c'est-à-dire, que cette expression n'est jamais un nombre rationnel), commençons par supposer le contraire.

Hypothèse :

Nous supposons qu'il existe un $x \in \mathbb{N}^*$ tel que : $\frac{\sqrt{x}}{x+1} \in \mathbb{Q}$ Cela signifie qu'il existe des nombres entiers $p$ et $q$ (avec $q \neq 0$ et $p/q$ sous forme irréductible) tels que : $\frac{\sqrt{x}}{x+1} = \frac{p}{q}$ Multiplions les deux côtés de l'équation par $(x+1)$ pour éliminer le dénominateur à gauche : $\sqrt{x} = \frac{p(x+1)}{q}$ Ensuite, élevons les deux côtés au carré pour obtenir une expression sans racine carrée : $x = \left( \frac{p(x+1)}{q} \right)^2$ Ce qui donne : $x = \frac{p^2(x+1)^2}{q^2}$ Multiplions ensuite les deux côtés par $q^2$ pour se débarrasser du dénominateur : $x q^2 = p^2 (x+1)^2$ Développons le terme à droite : $x q^2 = p^2 (x^2 + 2x + 1)$ On obtient donc l'équation suivante : $x q^2 = p^2 x^2 + 2p^2 x + p^2$ Réorganisons cette équation : $p^2 x^2 + (2p^2 - q^2) x + p^2 = 0$ Nous avons ici une équation quadratique en $x$. Cependant, dans cette démonstration, nous avons supposé que $x \in \mathbb{N}^*$ (c'est-à-dire un entier positif), et il n'est pas nécessaire de résoudre cette équation quadratique explicitement, car nous pouvons démontrer une contradiction autrement.

Contradiction :

Nous avons supposé au départ que $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ est un nombre rationnel, ce qui implique que $\sqrt{x}$ doit également être rationnel (car il s'exprime à travers des rationnels). Or, il est bien connu que $\sqrt{x}$ n'est rationnel que si $x$ est un carré parfait, c'est-à-dire si $x = n^2$ pour un certain entier $n$.

Cependant, même si $x = n^2$, la fraction $\frac{\sqrt{x}}{x+1} = \frac{n}{n^2 + 1}$ ne peut jamais être un nombre rationnel sous forme simplifiée car $n^2 + 1$ n'est jamais divisible par $n$ pour tout entier $n$. En effet, si on divise $n^2 + 1$ par $n$, on obtient un quotient non entier. Cela montre que l'hypothèse de départ conduit à une contradiction.

Conclusion :

Ainsi, l'hypothèse selon laquelle $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ serait rationnel est fausse. Par conséquent, nous avons prouvé par raisonnement par l'absurde que $\frac{\sqrt{x}}{x+1} \notin \mathbb{Q}$ pour tout $x \in \mathbb{N}^*$.

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur cette démonstration ?

Voici 5 questions relatives à ce sujet :

1. Pourquoi $\sqrt{x}$ ne peut-il être rationnel que si $x$ est un carré parfait ?
2. Comment pourrait-on généraliser ce type de démonstration pour d'autres expressions similaires ?
3. Pourquoi est-il important de supposer que la fraction est irréductible dans un raisonnement par l'absurde ?
4. Quelle est l'importance des contradictions dans les raisonnements par l'absurde en mathématiques ?
5. Comment pourrait-on utiliser cette méthode pour prouver l'irrationalité d'autres expressions contenant des racines carrées ?

Tip : Utiliser un raisonnement par l'absurde est souvent efficace pour prouver l'impossibilité de certaines solutions, en montrant qu'elles conduisent à une contradiction.