montrez par raisonnement absurde que pour tout x∈ℕ* √x/x+1 ∉ℚ sans utiliser l équation quadratique

Pour démontrer par **raisonnement par l'absurde** que, pour tout \( x \in \mathbb{N}^* \), \(\frac{\sqrt{x}}{x+1} \notin \mathbb{Q} \) (c'est-à-dire, que cette expression n'est jamais un nombre rationnel), commençons par supposer le contraire.

### Hypothèse :
Nous supposons qu'il existe un \( x \in \mathbb{N}^* \) tel que :
\[
\frac{\sqrt{x}}{x+1} \in \mathbb{Q}
\]
Cela signifie qu'il existe des nombres entiers \( p \) et \( q \) (avec \( q \neq 0 \) et \( p/q \) sous forme irréductible) tels que :
\[
\frac{\sqrt{x}}{x+1} = \frac{p}{q}
\]
Multiplions les deux côtés de l'équation par \( (x+1) \) pour éliminer le dénominateur à gauche :
\[
\sqrt{x} = \frac{p(x+1)}{q}
\]
Ensuite, élevons les deux côtés au carré pour obtenir une expression sans racine carrée :
\[
x = \left( \frac{p(x+1)}{q} \right)^2
\]
Ce qui donne :
\[
x = \frac{p^2(x+1)^2}{q^2}
\]
Multiplions ensuite les deux côtés par \( q^2 \) pour se débarrasser du dénominateur :
\[
x q^2 = p^2 (x+1)^2
\]
Développons le terme à droite :
\[
x q^2 = p^2 (x^2 + 2x + 1)
\]
On obtient donc l'équation suivante :
\[
x q^2 = p^2 x^2 + 2p^2 x + p^2
\]
Réorganisons cette équation :
\[
p^2 x^2 + (2p^2 - q^2) x + p^2 = 0
\]
Nous avons ici une équation quadratique en \( x \). Cependant, dans cette démonstration, nous avons supposé que \( x \in \mathbb{N}^* \) (c'est-à-dire un entier positif), et il n'est pas nécessaire de résoudre cette équation quadratique explicitement, car nous pouvons démontrer une contradiction autrement.

### Contradiction :
Nous avons supposé au départ que \(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\) est un nombre rationnel, ce qui implique que \( \sqrt{x} \) doit également être rationnel (car il s'exprime à travers des rationnels). Or, il est bien connu que \( \sqrt{x} \) n'est rationnel que si \( x \) est un carré parfait, c'est-à-dire si \( x = n^2 \) pour un certain entier \( n \). 

Cependant, même si \( x = n^2 \), la fraction \(\frac{\sqrt{x}}{x+1} = \frac{n}{n^2 + 1} \) ne peut jamais être un nombre rationnel sous forme simplifiée car \( n^2 + 1 \) n'est jamais divisible par \( n \) pour tout entier \( n \). En effet, si on divise \( n^2 + 1 \) par \( n \), on obtient un quotient non entier. Cela montre que l'hypothèse de départ conduit à une contradiction.

### Conclusion :
Ainsi, l'hypothèse selon laquelle \(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\) serait rationnel est fausse. Par conséquent, nous avons prouvé par raisonnement par l'absurde que \(\frac{\sqrt{x}}{x+1} \notin \mathbb{Q}\) pour tout \( x \in \mathbb{N}^* \).

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur cette démonstration ? 

Voici 5 questions relatives à ce sujet :

1. Pourquoi \( \sqrt{x} \) ne peut-il être rationnel que si \( x \) est un carré parfait ?
2. Comment pourrait-on généraliser ce type de démonstration pour d'autres expressions similaires ?
3. Pourquoi est-il important de supposer que la fraction est irréductible dans un raisonnement par l'absurde ?
4. Quelle est l'importance des contradictions dans les raisonnements par l'absurde en mathématiques ?
5. Comment pourrait-on utiliser cette méthode pour prouver l'irrationalité d'autres expressions contenant des racines carrées ?

**Tip** : Utiliser un raisonnement par l'absurde est souvent efficace pour prouver l'impossibilité de certaines solutions, en montrant qu'elles conduisent à une contradiction.

montrez par raisonnement absurde que pour tout x∈ℕ* √x/x+1 ∉ℚ sans utiliser l'équation quadratique

Learn how to prove by contradiction that the expression √x/(x+1) is irrational for any natural number x without using quadratic equations. This solution covers concepts like rational and irrational numbers, the contradiction principle, and the properties of square roots. Ideal for advanced high school students (Grades 11-12).

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