Pour démontrer par l'absurde que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ n'appartient pas à l'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$, nous allons supposer l'inverse, c'est-à-dire que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ est rationnel, et arriver à une contradiction.

Supposons donc que :

$\sqrt{2} + \sqrt{3} \in \mathbb{Q}$ Cela signifie qu'il existe un rationnel $r \in \mathbb{Q}$ tel que : $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$

Étape 1 : Isolement d'un radical

Essayons d'isoler $\sqrt{3}$ dans cette équation : $\sqrt{3} = r - \sqrt{2}$

Étape 2 : Carré des deux côtés

Prenons le carré des deux côtés de l'équation pour éliminer le radical de droite : $\sqrt{3}^2 = (r - \sqrt{2})^2$ Cela donne : $3 = r^2 - 2r\sqrt{2} + 2$ Simplifions : $3 = r^2 + 2 - 2r\sqrt{2}$ $1 = r^2 - 2r\sqrt{2}$

Étape 3 : Analyse des termes

L'équation obtenue est : $1 = r^2 - 2r\sqrt{2}$ Or, $r^2$ est rationnel, et $-2r\sqrt{2}$ est un terme irrationnel car $\sqrt{2}$ est irrationnel. Cela implique que le côté droit de l'équation est irrationnel, tandis que le côté gauche est rationnel (1).

Conclusion

Cela constitue une contradiction, car un nombre ne peut pas être simultanément rationnel et irrationnel. Par conséquent, notre hypothèse de départ est fausse, et nous devons conclure que : $\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$

Si vous avez des questions ou souhaitez des détails supplémentaires, faites-le moi savoir !

Questions associées :

1. Pourquoi $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ sont-ils irrationnels ?
2. Peut-on utiliser cette méthode pour démontrer que $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ est irrationnel ?
3. Qu'est-ce qu'une démonstration par l'absurde ?
4. Comment prouver qu'un nombre est rationnel ou irrationnel ?
5. Peut-on combiner plus de deux racines carrées dans un raisonnement similaire ?

Tip :

Lorsque vous travaillez avec des radicaux, une méthode courante pour prouver l'irrationalité est d'isoler un radical et de carrément l'expression pour simplifier les termes.