Функция f(x) непрерывна на отрезке от 0 до 1 и равна нулю, если x=k*2^(-n), k=0; 1; ...; 2^n. Доказать, что f(x)=0 на отрезке.

Давайте рассмотрим функцию \( f(x) \), которая задана как непрерывная на отрезке \([0, 1]\) и равная нулю для точек вида:

\[
x_k = k \cdot 2^{-n}, \quad k = 0, 1, \dots, 2^n \quad \text{для некоторого} \, n \in \mathbb{N}.
\]

Нужно доказать, что \( f(x) = 0 \) для всех \( x \in [0, 1] \).

### Решение:

1. **Описание точек, на которых функция равна нулю**:
   Для каждого \( n \), функция \( f(x) \) равна нулю на множестве точек \( \{ x_k \} \), где \( x_k = k \cdot 2^{-n} \) и \( k \in \{0, 1, 2, \dots, 2^n\} \). Это множество включает в себя \( 2^n + 1 \) точек, которое становится все более плотным на отрезке \( [0, 1] \), по мере того как \( n \) увеличивается.

2. **Рассмотрим ограниченность множества**:
   Точки \( x_k \) (для фиксированного \( n \)) являются конечным набором чисел, но с увеличением \( n \) количество таких точек растет. Существуют такие точки, которые для любого \( n \) попадают в интервал между любыми двумя соседними числами из множества \( \{ x_k \} \) для большего \( n \). В результате, множество точек, на которых \( f(x) = 0 \), становится плотным на отрезке \( [0, 1] \).

3. **Непрерывность функции**:
   По условию задачи, функция \( f(x) \) непрерывна на отрезке \( [0, 1] \). Пусть \( x_0 \in [0, 1] \) — произвольная точка этого отрезка. Так как множество точек \( \{ x_k \} \) становится плотным на отрезке, то для любого \( \epsilon > 0 \) существует такая точка \( x_k \), что \( |x_0 - x_k| < \epsilon \), при этом \( f(x_k) = 0 \).

4. **Применение непрерывности**:
   Поскольку \( f(x) \) непрерывна, то для любого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \), такое что для всех \( x \), удовлетворяющих \( |x - x_0| < \delta \), выполняется \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \). Из этого следует, что для точек \( x_k \), которые находятся на расстоянии меньше \( \delta \) от \( x_0 \), значение функции \( f(x_k) \) должно быть близким к \( f(x_0) \).

   Так как \( f(x_k) = 0 \), то для достаточно маленького \( \delta \) получаем \( f(x_0) = 0 \).

5. **Заключение**:
   Поскольку точка \( x_0 \) была произвольной, то из вышеизложенного следует, что \( f(x) = 0 \) для всех \( x \in [0, 1] \).

Таким образом, мы доказали, что \( f(x) = 0 \) на всем отрезке \( [0, 1] \).

---

Хотите ли вы уточнить какие-то моменты или рассмотреть другие примеры? 

Вот несколько вопросов для дальнейшего исследования:

1. Какое значение функции можно ожидать для непрерывных функций, заданных на плотных множествах точек?
2. Что происходит, если вместо непрерывности использовать условие, что функция ограничена на отрезке?
3. Какое значение функции \( f(x) \) может быть, если она равна нулю в дискретном множестве точек, но не является непрерывной?
4. Как изменить доказательство, если функция была бы задана на другом интервале, например, на \( [a, b] \)?
5. Какие примеры других непрерывных функций, равных нулю на множестве плотных точек, могут быть рассмотрены?

**Совет**: При работе с непрерывными функциями, заданными на плотных множествах точек, полезно помнить о свойствах пределов и о том, как плотность множества точек влияет на поведение функции на всем интервале.

Explore the proof that a continuous function f(x) on [0, 1], which equals zero at dense points defined by x = k * 2^{-n}, is zero on the entire interval. This problem involves the epsilon-delta definition of continuity and properties of dense point sets.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation