Давайте рассмотрим функцию $f(x)$, которая задана как непрерывная на отрезке $[0, 1]$ и равная нулю для точек вида:

$x_k = k \cdot 2^{-n}, \quad k = 0, 1, \dots, 2^n \quad \text{для некоторого} \, n \in \mathbb{N}.$

Нужно доказать, что $f(x) = 0$ для всех $x \in [0, 1]$.

Решение:

1. Описание точек, на которых функция равна нулю: Для каждого $n$, функция $f(x)$ равна нулю на множестве точек $\{ x_k \}$, где $x_k = k \cdot 2^{-n}$ и $k \in \{0, 1, 2, \dots, 2^n\}$. Это множество включает в себя $2^n + 1$ точек, которое становится все более плотным на отрезке $[0, 1]$, по мере того как $n$ увеличивается.

2. Рассмотрим ограниченность множества: Точки $x_k$ (для фиксированного $n$) являются конечным набором чисел, но с увеличением $n$ количество таких точек растет. Существуют такие точки, которые для любого $n$ попадают в интервал между любыми двумя соседними числами из множества $\{ x_k \}$ для большего $n$. В результате, множество точек, на которых $f(x) = 0$, становится плотным на отрезке $[0, 1]$.

3. Непрерывность функции: По условию задачи, функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0, 1]$. Пусть $x_0 \in [0, 1]$ — произвольная точка этого отрезка. Так как множество точек $\{ x_k \}$ становится плотным на отрезке, то для любого $\epsilon > 0$ существует такая точка $x_k$, что $|x_0 - x_k| < \epsilon$, при этом $f(x_k) = 0$.

4. Применение непрерывности: Поскольку $f(x)$ непрерывна, то для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что для всех $x$, удовлетворяющих $|x - x_0| < \delta$, выполняется $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. Из этого следует, что для точек $x_k$, которые находятся на расстоянии меньше $\delta$ от $x_0$, значение функции $f(x_k)$ должно быть близким к $f(x_0)$.

   Так как $f(x_k) = 0$, то для достаточно маленького $\delta$ получаем $f(x_0) = 0$.

5. Заключение: Поскольку точка $x_0$ была произвольной, то из вышеизложенного следует, что $f(x) = 0$ для всех $x \in [0, 1]$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x) = 0$ на всем отрезке $[0, 1]$.

---

Хотите ли вы уточнить какие-то моменты или рассмотреть другие примеры?

Вот несколько вопросов для дальнейшего исследования:

1. Какое значение функции можно ожидать для непрерывных функций, заданных на плотных множествах точек?
2. Что происходит, если вместо непрерывности использовать условие, что функция ограничена на отрезке?
3. Какое значение функции $f(x)$ может быть, если она равна нулю в дискретном множестве точек, но не является непрерывной?
4. Как изменить доказательство, если функция была бы задана на другом интервале, например, на $[a, b]$?
5. Какие примеры других непрерывных функций, равных нулю на множестве плотных точек, могут быть рассмотрены?

Совет: При работе с непрерывными функциями, заданными на плотных множествах точек, полезно помнить о свойствах пределов и о том, как плотность множества точек влияет на поведение функции на всем интервале.