Para demostrar que la sucesión de funciones $f_n(x) = \frac{x}{n}$ con $x \in [0, 1]$ es puntualmente convergente, necesitamos verificar que para cada punto $x \in [0, 1]$, la sucesión $f_n(x)$ converge a una función límite cuando $n \to \infty$.

Paso 1: Definir la función límite

Dada la sucesión de funciones $f_n(x) = \frac{x}{n}$, vamos a examinar su comportamiento cuando $n \to \infty$.

Para un $x$ fijo, tenemos que: $f_n(x) = \frac{x}{n}.$ Si tomamos el límite cuando $n \to \infty$, obtenemos: $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} = 0 \quad \text{para todo} \, x \in [0, 1].$ Por lo tanto, la función límite es: $f(x) = 0 \quad \text{para todo} \, x \in [0, 1].$

Paso 2: Comprobar convergencia puntual

Decimos que una sucesión de funciones $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)$ si, para cada $x \in [0, 1]$, el valor de $f_n(x)$ se aproxima a $f(x)$ cuando $n \to \infty$.

En este caso, dado que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ para cada $x \in [0, 1]$, podemos afirmar que la sucesión de funciones $f_n(x) = \frac{x}{n}$ converge puntualmente a la función $f(x) = 0$.

Paso 3: Conclusión

La sucesión de funciones $f_n(x) = \frac{x}{n}$ converge puntualmente a la función límite $f(x) = 0$ para todo $x \in [0, 1]$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se diferencia la convergencia puntual de la convergencia uniforme?
2. ¿Cuál es el papel de la convergencia puntual en el análisis funcional?
3. ¿En qué casos la convergencia puntual no implica convergencia uniforme?
4. ¿Cómo afectaría la definición de la sucesión si $x$ estuviera en un intervalo diferente de $[0, 1]$?
5. ¿Cómo se aplica la convergencia puntual en el cálculo de integrales?

Tip: En algunos casos, la convergencia puntual puede no ser suficiente para garantizar buenas propiedades en la función límite. La convergencia uniforme es más fuerte y suele ser más útil en aplicaciones como la integración y la derivación.