Math Problem Statement

右の図において、四角形ABCDは正方形である。直線CDについて点Aと反対側に点を、直線CEの上側に2点E、Gを、四角形CEFGが正方形になるようにとる。 これについて、次の問いに答えなさい。 ① ABCG=ADCE を証明しなさい。

Solution

問題の概要は、四角形 ABCDABCD が正方形であり、そこから新しい正方形 CEFGCEFG が構成されているというものです。ここで、三角形 ABCGABCG と三角形 ADCEADCE の合同を証明することが課題です。

証明

  1. 四角形 ABCDABCD は正方形である
    与えられた通り、四角形 ABCDABCD は正方形であるため、各辺の長さが等しく、全ての角が90度です。

    よって、
    AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
    であり、
    ABC=BCD=CDA=DAB=90\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^\circ
    です。

  2. 四角形 CEFGCEFG も正方形である
    四角形 CEFGCEFG も正方形であるため、
    CE=EF=FG=GCCE = EF = FG = GC
    であり、全ての角が90度です。

  3. 対応する辺の長さが等しい
    正方形 ABCDABCD の辺の長さを aa とし、正方形 CEFGCEFG の辺の長さを bb とします。ここで、点 GG は正方形 CEFGCEFG の1点であるため、AB=AD=CE=CGAB = AD = CE = CG が成り立ちます。

  4. 対応する角が等しい
    正方形の全ての角は90度であり、特に重要な角度として、
    ABC=BCD=90\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ
    DCE=GCF=90\angle DCE = \angle GCF = 90^\circ
    これらの角は等しいため、対応する角も等しいと言えます。

  5. 三角形 ABCGABCGADCEADCE が合同である
    以下の条件に基づいて、三角形 ABCGABCGADCEADCE が合同であることを示します:

    • AB=ADAB = AD
    • BC=CEBC = CE
    • 対応する角 ABC=ADCE=90\angle ABC = \angle ADCE = 90^\circ

    よって、辺・角の合同条件 (SAS合同条件) により、三角形 ABCGABCG と三角形 ADCEADCE は合同であると証明できます。

結論

以上より、三角形 ABCGABCG と三角形 ADCEADCE が合同であることが証明されました。

ご質問や追加の説明が必要ですか?
また、関連する以下の5つの質問に挑戦してみてください。

  1. 正方形の定義とは何ですか?
  2. 三角形の合同条件をすべて説明してください。
  3. 正方形の対角線の性質について説明してください。
  4. 正方形の面積と周の求め方はどのように異なりますか?
  5. ABCGABCGADCEADCE の他の合同条件を見つけられますか?

Tip: 図形問題を解く際には、対応する角と辺の関係を確認することが重要です。

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