Soit (Un) la suite definie par: (Un) : U0 =-1 et Un+1 = 3 + 4n - (1/3)*Un

Soit la suite \((U_n)\) définie par :
- \( U_0 = -1 \)
- \( U_{n+1} = 3 + 4n - \frac{1}{3} U_n \)

On peut étudier cette suite par récurrence pour trouver les premiers termes ou chercher des propriétés intéressantes. Commençons par calculer quelques termes manuellement pour mieux comprendre son comportement.

### Calcul des premiers termes :
- \( U_0 = -1 \)
- \( U_1 = 3 + 4 \times 0 - \frac{1}{3} \times (-1) = 3 + 0 + \frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \)
- \( U_2 = 3 + 4 \times 1 - \frac{1}{3} \times \frac{10}{3} = 3 + 4 - \frac{10}{9} = 7 - \frac{10}{9} = \frac{53}{9} \)
- \( U_3 = 3 + 4 \times 2 - \frac{1}{3} \times \frac{53}{9} = 3 + 8 - \frac{53}{27} = 11 - \frac{53}{27} = \frac{244}{27} \)

Ainsi, les premiers termes de la suite \((U_n)\) sont : 
\[
U_0 = -1, \quad U_1 = \frac{10}{3}, \quad U_2 = \frac{53}{9}, \quad U_3 = \frac{244}{27}
\]

### Observations
La suite \((U_n)\) semble être définie de manière récurrente par une relation linéaire en \(n\) et en \(U_n\), avec un terme qui dépend de la valeur précédente de la suite. Cela peut être utile pour analyser son comportement asymptotique ou pour déterminer si la suite converge vers une limite.

Si vous voulez approfondir l'analyse (par exemple, en étudiant la convergence ou la formule explicite), n'hésitez pas à demander.

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur une partie de l'analyse ?

Voici 5 questions connexes :
1. Voulez-vous calculer plus de termes pour la suite \((U_n)\) ?
2. Souhaitez-vous déterminer si cette suite converge ?
3. Désirez-vous une étude plus approfondie de la récurrence utilisée pour cette suite ?
4. Voulez-vous exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\) ?
5. Seriez-vous intéressé par la résolution d'une autre suite récurrente ?

**Astuce** : Les suites récurrentes linéaires peuvent souvent être résolues en cherchant une solution particulière et la solution générale de l'équation homogène associée.

Soit (Un) la suite definie par: (Un) : U0 = -1 et Un+1 = 3 + 4n - (1/3)*Un

Explore the recurrence relation U_n+1 = 3 + 4n - (1/3)*U_n starting with U0 = -1. Learn how to calculate the first few terms, understand the sequence's behavior, and study the recurrence relation structure. Suitable for high school students (Grades 11-12).

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