Найти в стандартном базисе матрицу оператора проектирования пространства R4R4 на собственное пространство оператора φ∈Hom(R4,R4)*φ*∈*Hom*(R4,R4), соответствующее собственному числу λ=2*λ*=2. Оператор φ*φ* задан своей матрицей в стандартном базисеAφ=(200−1020−22−1100001)*Aφ*​=​2020​02−10​0010​−1−201​​​

Для решения задачи нужно найти матрицу оператора проектирования пространства \(\mathbb{R}^4\) на собственное пространство оператора \(\varphi\), соответствующее собственному числу \(\lambda = 2\). 

**Дано:**
Матрица \(\varphi\) в стандартном базисе:
\[
A_\varphi = 
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 0 & -2 \\
-1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

**Шаг 1. Найдём собственные векторы, соответствующие \(\lambda = 2\).**

Для этого решим уравнение \((A_\varphi - 2I)x = 0\), где \(I\) — единичная матрица.

\[
A_\varphi - 2I =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & -2 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\]

Решим систему линейных уравнений:
\[
\begin{aligned}
& -x_4 = 0, \\
& -2x_4 = 0, \\
& -x_1 - x_4 = 0, \\
& -x_4 = 0.
\end{aligned}
\]

Из этой системы следует, что \(x_4 = 0\), \(x_1 = 0\), а \(x_2\) и \(x_3\) могут быть произвольными. Таким образом, собственное пространство, соответствующее \(\lambda = 2\), порождается векторами:
\[
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}.
\]

То есть собственное пространство имеет базис:
\[
\{e_2, e_3\}.
\]

**Шаг 2. Найдём матрицу проектирования.**

Матрица проектирования \(\mathbb{P}\) на собственное пространство может быть найдена следующим образом:
\[
\mathbb{P} = VV^T,
\]
где \(V\) — матрица, столбцы которой — ортонормированные собственные векторы.

Сначала запишем \(V\):
\[
V =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Теперь вычислим \(\mathbb{P}\):
\[
\mathbb{P} = V V^T =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Таким образом, матрица проектирования \(\mathbb{P}\) имеет вид:
\[
\mathbb{P} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

**Ответ:**
Матрица проектирования пространства \(\mathbb{R}^4\) на собственное пространство оператора \(\varphi\), соответствующее собственному числу \(\lambda = 2\), равна:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

---

**Вопросы для понимания:**
1. Что такое собственные числа и собственные векторы, и как они связаны с оператором?
2. Как строится матрица проектирования для любого подпространства?
3. Зачем используются ортонормированные собственные векторы в процессе проектирования?
4. Какие свойства имеет матрица проектирования?
5. Как изменится ответ, если собственное число будет другим?

**Совет:** всегда проверяйте правильность своих вычислений при нахождении собственных векторов, решая систему линейных уравнений.

Найти в стандартном базисе матрицу оператора проектирования пространства R4 на собственное пространство оператора φ∈Hom(R4,R4)*φ*∈*Hom*(R4,R4), соответствующее собственному числу λ=2*λ*=2. Оператор φ*φ* задан своей матрицей в стандартном базисе Aφ=(200−1020−22−1100001)*Aφ*​=​2020​02−10​0010​−1−201

Learn how to find the matrix of a projection operator in R4 onto the eigenspace corresponding to eigenvalue λ = 2. This step-by-step solution covers matrix operations, eigenvalue equations, and projection theory. Suitable for advanced linear algebra students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation