Math Problem Statement
Найти в стандартном базисе матрицу оператора проектирования пространства R4R4 на собственное пространство оператора φ∈Hom(R4,R4)φ∈Hom(R4,R4), соответствующее собственному числу λ=2λ=2. Оператор φφ задан своей матрицей в стандартном базисеAφ=(200−1020−22−1100001)Aφ=202002−100010−1−201
Solution
Для решения задачи нужно найти матрицу оператора проектирования пространства на собственное пространство оператора , соответствующее собственному числу .
Дано: Матрица в стандартном базисе:
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ **Шаг 1. Найдём собственные векторы, соответствующие $$\lambda = 2$$.** Для этого решим уравнение $$(A_\varphi - 2I)x = 0$$, где $$I$$ — единичная матрица. $$A_\varphi - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ Решим систему линейных уравнений: $$\begin{aligned} & -x_4 = 0, \\ & -2x_4 = 0, \\ & -x_1 - x_4 = 0, \\ & -x_4 = 0. \end{aligned}$$ Из этой системы следует, что $$x_4 = 0$$, $$x_1 = 0$$, а $$x_2$$ и $$x_3$$ могут быть произвольными. Таким образом, собственное пространство, соответствующее $$\lambda = 2$$, порождается векторами: $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ То есть собственное пространство имеет базис: $$\{e_2, e_3\}.$$ **Шаг 2. Найдём матрицу проектирования.** Матрица проектирования $$\mathbb{P}$$ на собственное пространство может быть найдена следующим образом: $$\mathbb{P} = VV^T,$$ где $$V$$ — матрица, столбцы которой — ортонормированные собственные векторы. Сначала запишем $$V$$: $$V = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Теперь вычислим $$\mathbb{P}$$: $$\mathbb{P} = V V^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Таким образом, матрица проектирования $$\mathbb{P}$$ имеет вид: $$\mathbb{P} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ **Ответ:** Матрица проектирования пространства $$\mathbb{R}^4$$ на собственное пространство оператора $$\varphi$$, соответствующее собственному числу $$\lambda = 2$$, равна: $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ --- **Вопросы для понимания:** 1. Что такое собственные числа и собственные векторы, и как они связаны с оператором? 2. Как строится матрица проектирования для любого подпространства? 3. Зачем используются ортонормированные собственные векторы в процессе проектирования? 4. Какие свойства имеет матрица проектирования? 5. Как изменится ответ, если собственное число будет другим? **Совет:** всегда проверяйте правильность своих вычислений при нахождении собственных векторов, решая систему линейных уравнений.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Eigenvalues and Eigenvectors
Projection Operator
Matrix Theory
Formulas
Matrix projection formula P = VV^T
Eigenvalue equation (A - λI)x = 0
Theorems
Eigenvalue decomposition
Properties of projection operators
Suitable Grade Level
University-level (Linear Algebra)