4. Usted vende un producto. Si decide exponerlo en un negocio, su beneficio mensual (en miles de pesos) ser´a de p = B1(q) = −q 2 + 6q − 4, donde q expresa la cantidad (en centenas) del producto vendido. Por otro lado, si s´olo lo publica por internet su beneficio mensual ser´a de p = B2(q) = 7 6 q − 2 3 donde p y q mantienen la misma medida. (a) ¿Cu´antos productos deber´ıan venderse para obtener el mismo beneficio vendiendo el producto por cualquiera de las dos modalidades?

Para encontrar cuántos productos deben venderse para obtener el mismo beneficio en ambas modalidades, tenemos que igualar las dos funciones de beneficio \(B_1(q)\) y \(B_2(q)\). Es decir, debemos resolver la ecuación:

\[
B_1(q) = B_2(q)
\]

Dado que las funciones de beneficio son:

\[
B_1(q) = -q^2 + 6q - 4
\]
\[
B_2(q) = \frac{7}{6}q - \frac{2}{3}
\]

Igualamos las dos expresiones:

\[
-q^2 + 6q - 4 = \frac{7}{6}q - \frac{2}{3}
\]

Ahora resolvamos esta ecuación paso a paso.

1. Multiplicamos ambos lados por 6 para eliminar el denominador:

\[
6(-q^2 + 6q - 4) = 7q - 4
\]

Esto nos da:

\[
-6q^2 + 36q - 24 = 7q - 4
\]

2. Llevamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

\[
-6q^2 + 36q - 24 - 7q + 4 = 0
\]

Simplificamos:

\[
-6q^2 + 29q - 20 = 0
\]

3. Para resolver esta ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula general:

\[
q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

En este caso, \(a = -6\), \(b = 29\), y \(c = -20\). Sustituyendo en la fórmula:

\[
q = \frac{-29 \pm \sqrt{29^2 - 4(-6)(-20)}}{2(-6)}
\]
\[
q = \frac{-29 \pm \sqrt{841 - 480}}{-12}
\]
\[
q = \frac{-29 \pm \sqrt{361}}{-12}
\]
\[
q = \frac{-29 \pm 19}{-12}
\]

4. Ahora resolvemos para los dos casos:

- Para \(q_1 = \frac{-29 + 19}{-12}\):

\[
q_1 = \frac{-10}{-12} = \frac{5}{6}
\]

- Para \(q_2 = \frac{-29 - 19}{-12}\):

\[
q_2 = \frac{-48}{-12} = 4
\]

Por lo tanto, los valores de \(q\) que hacen que los beneficios sean iguales son \(q = \frac{5}{6}\) (cerca de 83 productos) o \(q = 4\) (400 productos).

---

¿Te gustaría más detalles sobre el análisis o alguna parte en específico?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta el valor negativo de \(q^2\) en la función \(B_1(q)\)?
2. ¿Qué sucede con los beneficios cuando se venden menos de 100 productos en cada modalidad?
3. ¿Cómo cambiaría el problema si la función \(B_2(q)\) tuviera una dependencia cuadrática de \(q\)?
4. ¿Qué implicaciones tiene el hecho de que una de las soluciones sea fraccionaria?
5. ¿Qué interpretación se puede dar a la ecuación cuadrática en términos del número de productos vendidos?

**Tip**: Siempre verifica las soluciones fraccionarias en contextos de problemas aplicados, ya que podrían requerir una interpretación particular dependiendo del caso práctico.

Usted vende un producto. Si decide exponerlo en un negocio, su beneficio mensual (en miles de pesos) será de p = B1(q) = −q^2 + 6q − 4, donde q expresa la cantidad (en centenas) del producto vendido. Por otro lado, si solo lo publica por internet su beneficio mensual será de p = B2(q) = 7/6 q − 2/3 donde p y q mantienen la misma medida. (a) ¿Cuántos productos deberían venderse para obtener el mismo beneficio vendiendo el producto por cualquiera de las dos modalidades?

Learn how to calculate the quantity of products needed to achieve equal profit from two selling methods. This problem covers quadratic equations, systems of equations, and profit analysis. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation