Para encontrar cuántos productos deben venderse para obtener el mismo beneficio en ambas modalidades, tenemos que igualar las dos funciones de beneficio $B_1(q)$ y $B_2(q)$. Es decir, debemos resolver la ecuación:

$B_1(q) = B_2(q)$

Dado que las funciones de beneficio son:

$B_1(q) = -q^2 + 6q - 4$ $B_2(q) = \frac{7}{6}q - \frac{2}{3}$

Igualamos las dos expresiones:

$-q^2 + 6q - 4 = \frac{7}{6}q - \frac{2}{3}$

Ahora resolvamos esta ecuación paso a paso.

1. Multiplicamos ambos lados por 6 para eliminar el denominador:

$6(-q^2 + 6q - 4) = 7q - 4$

Esto nos da:

$-6q^2 + 36q - 24 = 7q - 4$

2. Llevamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

$-6q^2 + 36q - 24 - 7q + 4 = 0$

Simplificamos:

$-6q^2 + 29q - 20 = 0$

3. Para resolver esta ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula general:

$q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

En este caso, $a = -6$, $b = 29$, y $c = -20$. Sustituyendo en la fórmula:

$q = \frac{-29 \pm \sqrt{29^2 - 4(-6)(-20)}}{2(-6)}$ $q = \frac{-29 \pm \sqrt{841 - 480}}{-12}$ $q = \frac{-29 \pm \sqrt{361}}{-12}$ $q = \frac{-29 \pm 19}{-12}$

4. Ahora resolvemos para los dos casos:

• Para $q_1 = \frac{-29 + 19}{-12}$:

$q_1 = \frac{-10}{-12} = \frac{5}{6}$

• Para $q_2 = \frac{-29 - 19}{-12}$:

$q_2 = \frac{-48}{-12} = 4$

Por lo tanto, los valores de $q$ que hacen que los beneficios sean iguales son $q = \frac{5}{6}$ (cerca de 83 productos) o $q = 4$ (400 productos).

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¿Te gustaría más detalles sobre el análisis o alguna parte en específico?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta el valor negativo de $q^2$ en la función $B_1(q)$?
2. ¿Qué sucede con los beneficios cuando se venden menos de 100 productos en cada modalidad?
3. ¿Cómo cambiaría el problema si la función $B_2(q)$ tuviera una dependencia cuadrática de $q$?
4. ¿Qué implicaciones tiene el hecho de que una de las soluciones sea fraccionaria?
5. ¿Qué interpretación se puede dar a la ecuación cuadrática en términos del número de productos vendidos?

Tip: Siempre verifica las soluciones fraccionarias en contextos de problemas aplicados, ya que podrían requerir una interpretación particular dependiendo del caso práctico.