Kyseessä on todennäköisyystehtävä, jossa tikka osuu maalitauluun, joka koostuu keskellä olevasta ympyrästä (numero 10) ja sitä ympäröivistä renkaista, joiden numerot ovat 1–9. Tehtävässä annetaan ympyrärenkaiden leveys ja keskusympyrän halkaisija.

a) Todennäköisyys osua kymppiin

Keskusympyrän halkaisija on annettu 3 cm. Ympyrän pinta-ala voidaan laskea kaavalla:

$A = \pi r^2$

Halkaisijasta voidaan laskea säde $r$:

$r = \frac{3 \, \text{cm}}{2} = 1,5 \, \text{cm}$

Sitten keskusympyrän pinta-ala on:

$A_{\text{keskusympyrä}} = \pi (1,5 \, \text{cm})^2 = \pi \times 2,25 = 7,07 \, \text{cm}^2$

b) Todennäköisyys osua ykköseen

Ykkösrenkaan alueen pinta-ala on se alue, joka jää ulomman renkaan (1) ja sisemmän renkaan (0, eli keskusympyrän) väliin. Renkaan ulkoreunan säde on 3 cm (koska keskusta mukaan lukien ykkösrengas on renkaaltaan leveydeltään 1,5 cm).

Ympyrä 1:n säde on siis:

$r_{\text{ykkösrenkaan ulkoreuna}} = 1,5 \, \text{cm} + 1,5 \, \text{cm} = 3 \, \text{cm}$

Ykkösrenkaan ulkoreunan koko pinta-ala:

$A_{\text{ulkoreuna}} = \pi (3 \, \text{cm})^2 = 9\pi = 28,27 \, \text{cm}^2$

Ykkösrenkaan pinta-ala on siis:

$A_{\text{ykkösrengas}} = A_{\text{ulkoreuna}} - A_{\text{keskusympyrä}} = 28,27 \, \text{cm}^2 - 7,07 \, \text{cm}^2 = 21,2 \, \text{cm}^2$

Todennäköisyyksien laskeminen

Oletetaan, että tikka osuu satunnaisesti mihin tahansa kohtaan taulussa, joten todennäköisyys osua tietylle alueelle riippuu sen pinta-alasta suhteessa koko tauluun.

Koko taulun säde on renkaan 9 ulkoreunan säde. Tämä voidaan laskea näin:

$r_{\text{9}} = 1,5 \, \text{cm} + 9 \times 1,5 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}$

Koko taulun pinta-ala on siis:

$A_{\text{koko taulu}} = \pi (15 \, \text{cm})^2 = 225\pi = 706,86 \, \text{cm}^2$

a) Todennäköisyys osua kymppiin:

$P_{\text{kymppi}} = \frac{A_{\text{keskusympyrä}}}{A_{\text{koko taulu}}} = \frac{7,07}{706,86} \approx 0,01$

Todennäköisyys osua kymppiin on noin 1 %.

b) Todennäköisyys osua ykköseen:

$P_{\text{ykkönen}} = \frac{A_{\text{ykkösrengas}}}{A_{\text{koko taulu}}} = \frac{21,2}{706,86} \approx 0,03$

Todennäköisyys osua ykköseen on noin 3 %.

---

Haluatko lisätietoja tai tarkennuksia?

Tässä on 5 kysymystä, jotka liittyvät aiheeseen:

1. Miten muiden renkaiden (2-9) todennäköisyydet lasketaan?
2. Kuinka ympyrän pinta-alan kaava johdetaan?
3. Mikä on todennäköisyyden merkitys käytännön tilanteissa?
4. Miten muuttuvat todennäköisyydet, jos renkaiden leveys kasvaa?
5. Voiko tämäntyyppisiä laskuja soveltaa myös muihin todennäköisyystehtäviin?

Vinkki: Kun lasket todennäköisyyksiä geometristen alueiden perusteella, pinta-ala on tärkein tekijä, koska todennäköisyys on suoraan verrannollinen alueen suuruuteen.