Ας αναλύσουμε και να εξηγήσουμε τον τόπο σύγκλισης κάθε δυναμοσειράς που δίνεται.

1. Πρώτη δυναμοσειρά

$\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{\nu + 1}$ Αυτή η δυναμοσειρά έχει τη μορφή: $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_{\nu} (z - \xi)^{\nu+1}, \quad \text{όπου } a_{\nu} = \frac{1}{\nu + 1}.$ Η γενική μορφή μιας δυναμοσειράς είναι: $\sum_{\nu=0}^{\infty} c_{\nu} (z - \xi)^{\nu}$ και συγκλίνει σε έναν δίσκο με κέντρο το $\xi$ και ακτίνα $R$, όπου: $\frac{1}{R} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|}.$

Εδώ, $c_{\nu} = \frac{1}{\nu + 1}$. Επομένως: [ \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\frac{1}{\nu + 1}} = 1. ] Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι $R = 1$, και ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι ο δίσκος $\Delta(\xi; R)$, δηλαδή ο δίσκος με κέντρο το $\xi$ και ακτίνα $R$.

2. Δεύτερη δυναμοσειρά

$\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\nu+1} (z - \xi)^{\nu+1}}{\nu + 1}$ Η μόνη διαφορά σε σχέση με την πρώτη δυναμοσειρά είναι η παρουσία του όρου $(-1)^{\nu+1}$. Αυτός ο όρος δεν αλλάζει την ακτίνα σύγκλισης, καθώς δεν επηρεάζει το όριο που χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί το $\limsup$. Επομένως, η ακτίνα σύγκλισης είναι επίσης $R = 1$, και ο τόπος σύγκλισης είναι και πάλι ο δίσκος $\Delta(\xi; R)$.

3. Τρίτη δυναμοσειρά

$\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{(\nu + 1)^2}$ Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε $c_{\nu} = \frac{1}{(\nu + 1)^2}$. Επομένως: [ \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\frac{1}{(\nu + 1)^2}} = 1. ] Άρα και πάλι η ακτίνα σύγκλισης είναι $R = 1$, και ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος $\Delta(\xi; R)$.

4. Τέταρτη δυναμοσειρά

$\sum_{\nu=0}^{\infty} (\nu + 1)(z - \xi)^{\nu+1}$ Σε αυτή την περίπτωση έχουμε $c_{\nu} = \nu + 1$. Εδώ: [ \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\nu + 1} = \infty. ] Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι $R = 0$, που σημαίνει ότι η δυναμοσειρά συγκλίνει μόνο στο σημείο $z = \xi$. Συνεπώς, ο τόπος σύγκλισης είναι το μονοσύνολο $\{\xi\}$.

5. Πέμπτη δυναμοσειρά

$\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{(\nu + 1)(\nu + 1)}$ Εδώ έχουμε $c_{\nu} = \frac{1}{(\nu + 1)(\nu + 1)}$. Επομένως: [ \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\frac{1}{(\nu + 1)^2}} = 0. ] Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι $R = \infty$, που σημαίνει ότι η δυναμοσειρά συγκλίνει παντού στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών $\mathbb{C}$.

---

Συνοπτικά:

• Η ακτίνα σύγκλισης των τριών πρώτων δυναμοσειρών είναι $R = 1$, και ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος $\Delta(\xi; 1)$.
• Η τέταρτη δυναμοσειρά συγκλίνει μόνο στο σημείο $\xi$.
• Η πέμπτη δυναμοσειρά συγκλίνει σε όλο το μιγαδικό επίπεδο $\mathbb{C}$.

Θες να δούμε λεπτομέρειες ή έχεις απορίες;

5 ερωτήσεις για να επεκτείνουμε:

1. Πώς βρίσκουμε την ακτίνα σύγκλισης μιας γενικής δυναμοσειράς;
2. Ποιο είναι το κριτήριο της ρίζας για τη σύγκλιση δυναμοσειρών;
3. Μπορείς να εξηγήσεις τη διαφορά ανάμεσα στις όρους της 2ης και 3ης δυναμοσειράς;
4. Πώς επηρεάζει η μορφή των όρων τη σύγκλιση της δυναμοσειράς;
5. Πώς ερμηνεύουμε την σύγκλιση μιας δυναμοσειράς σε όλο το σύνολο $\mathbb{C}$;

Συμβουλή:

Όταν εξετάζεις τη σύγκλιση δυναμοσειρών, η χρήση του κριτηρίου της ρίζας ή του λόγου είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τον υπολογισμό της ακτίνας σύγκλισης.