Σε παρακαλώ λυσε την με απλό επεξηγηματικό και αναλυτικό τρόπο «Ασκήσεις. Ο τόπος σύγκλισης των δυναμοσειρών 

∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1 

*𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (−1)𝜈+1 (𝑧−𝜉)* 

𝜈+1 

*𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1* 

*(𝜈+1)2 ∞ 𝜈=0* 

*είναι ο δίσκος ∆(𝜉; 𝑅). Ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς* 

∑ (𝜈 + 1)𝜈+1(𝑧 − 𝜉)𝜈+1∞ 

*𝜈=0* 

είναι το μονοσύνολο {𝜉}, ενώ ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς 

∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1 

*(𝜈+1)𝜈+1 ∞ 𝜈=0* 

είναι όλο το ℂ.»

Ας αναλύσουμε και να εξηγήσουμε τον τόπο σύγκλισης κάθε δυναμοσειράς που δίνεται.

### 1. Πρώτη δυναμοσειρά
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{\nu + 1}
\]
Αυτή η δυναμοσειρά έχει τη μορφή:
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} a_{\nu} (z - \xi)^{\nu+1}, \quad \text{όπου } a_{\nu} = \frac{1}{\nu + 1}.
\]
Η γενική μορφή μιας δυναμοσειράς είναι:
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} c_{\nu} (z - \xi)^{\nu}
\]
και συγκλίνει σε έναν δίσκο με κέντρο το \(\xi\) και ακτίνα \(R\), όπου:
\[
\frac{1}{R} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|}.
\]

Εδώ, \(c_{\nu} = \frac{1}{\nu + 1}\). Επομένως:
\[
\limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\frac{1}{\nu + 1}} = 1.
\]
Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι \(R = 1\), και ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι ο δίσκος \(\Delta(\xi; R)\), δηλαδή ο δίσκος με κέντρο το \(\xi\) και ακτίνα \(R\).

### 2. Δεύτερη δυναμοσειρά
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\nu+1} (z - \xi)^{\nu+1}}{\nu + 1}
\]
Η μόνη διαφορά σε σχέση με την πρώτη δυναμοσειρά είναι η παρουσία του όρου \( (-1)^{\nu+1} \). Αυτός ο όρος δεν αλλάζει την ακτίνα σύγκλισης, καθώς δεν επηρεάζει το όριο που χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί το \(\limsup\). Επομένως, η ακτίνα σύγκλισης είναι επίσης \(R = 1\), και ο τόπος σύγκλισης είναι και πάλι ο δίσκος \(\Delta(\xi; R)\).

### 3. Τρίτη δυναμοσειρά
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{(\nu + 1)^2}
\]
Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε \(c_{\nu} = \frac{1}{(\nu + 1)^2}\). Επομένως:
\[
\limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\frac{1}{(\nu + 1)^2}} = 1.
\]
Άρα και πάλι η ακτίνα σύγκλισης είναι \(R = 1\), και ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος \(\Delta(\xi; R)\).

### 4. Τέταρτη δυναμοσειρά
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} (\nu + 1)(z - \xi)^{\nu+1}
\]
Σε αυτή την περίπτωση έχουμε \(c_{\nu} = \nu + 1\). Εδώ:
\[
\limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\nu + 1} = \infty.
\]
Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι \(R = 0\), που σημαίνει ότι η δυναμοσειρά συγκλίνει μόνο στο σημείο \(z = \xi\). Συνεπώς, ο τόπος σύγκλισης είναι το μονοσύνολο \(\{\xi\}\).

### 5. Πέμπτη δυναμοσειρά
\[
\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{(\nu + 1)(\nu + 1)}
\]
Εδώ έχουμε \(c_{\nu} = \frac{1}{(\nu + 1)(\nu + 1)}\). Επομένως:
\[
\limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|c_{\nu}|} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{\frac{1}{(\nu + 1)^2}} = 0.
\]
Άρα η ακτίνα σύγκλισης είναι \(R = \infty\), που σημαίνει ότι η δυναμοσειρά συγκλίνει παντού στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών \(\mathbb{C}\).

---

### Συνοπτικά:
- Η ακτίνα σύγκλισης των τριών πρώτων δυναμοσειρών είναι \(R = 1\), και ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος \(\Delta(\xi; 1)\).
- Η τέταρτη δυναμοσειρά συγκλίνει μόνο στο σημείο \(\xi\).
- Η πέμπτη δυναμοσειρά συγκλίνει σε όλο το μιγαδικό επίπεδο \(\mathbb{C}\).

### Θες να δούμε λεπτομέρειες ή έχεις απορίες;
### 5 ερωτήσεις για να επεκτείνουμε:
1. Πώς βρίσκουμε την ακτίνα σύγκλισης μιας γενικής δυναμοσειράς;
2. Ποιο είναι το κριτήριο της ρίζας για τη σύγκλιση δυναμοσειρών;
3. Μπορείς να εξηγήσεις τη διαφορά ανάμεσα στις όρους της 2ης και 3ης δυναμοσειράς;
4. Πώς επηρεάζει η μορφή των όρων τη σύγκλιση της δυναμοσειράς;
5. Πώς ερμηνεύουμε την σύγκλιση μιας δυναμοσειράς σε όλο το σύνολο \(\mathbb{C}\);

### Συμβουλή:
Όταν εξετάζεις τη σύγκλιση δυναμοσειρών, η χρήση του κριτηρίου της ρίζας ή του λόγου είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τον υπολογισμό της ακτίνας σύγκλισης.

Σε παρακαλώ λυσε την με απλό επεξηγηματικό και αναλυτικό τρόπο «Ασκήσεις. Ο τόπος σύγκλισης των δυναμοσειρών ∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1 *𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (−1)𝜈+1 (𝑧−𝜉)* 𝜈+1 *𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1* *(𝜈+1)2 ∞ 𝜈=0* *είναι ο δίσκος ∆(𝜉; 𝑅). Ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς* ∑ (𝜈 + 1)𝜈+1(𝑧 − 𝜉)𝜈+1∞ *𝜈=0* είναι το μονοσύνολο {𝜉}, ενώ ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς ∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1 *(𝜈+1)𝜈+1 ∞ 𝜈=0* είναι όλο το ℂ.»

Learn how to analyze the convergence of power series and compute the radius of convergence for series involving complex numbers, including step-by-step explanations of key examples. This advanced mathematics topic is ideal for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation