Ας εξετάσουμε μία-μία τις δυναμοσειρές που μας δίνονται για να προσδιορίσουμε τον τόπο σύγκλισης τους, ξεκινώντας από βασικές αρχές των δυναμοσειρών.

1η Σειρά:

$\sum_{\nu=0}^{\infty} (z - \xi)^{\nu+1}$

Αυτή η σειρά μπορεί να αναγνωριστεί ως μια γεωμετρική σειρά της μορφής $(z - \xi)^{\nu+1}$, η οποία είναι σύγκλιτη αν και μόνο αν το απόλυτο μέτρο του όρου $|z - \xi|$ είναι μικρότερο από κάποια τιμή $R$ που είναι η ακτίνα σύγκλισης, δηλαδή:

$|z - \xi| < R$

Ο τόπος σύγκλισης αυτής της δυναμοσειράς είναι ο δίσκος $\Delta(\xi; R)$, όπου το $R$ είναι η ακτίνα σύγκλισης που πρέπει να προσδιορίσουμε. Μπορείς να την υπολογίσεις χρησιμοποιώντας το κριτήριο ρίζας του Cauchy ή το κριτήριο λόγου.

2η Σειρά:

$\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{(\nu + 1)^2}$

Αυτή η δυναμοσειρά είναι λίγο πιο σύνθετη, καθώς περιλαμβάνει τον παράγοντα $(\nu + 1)^2$ στον παρονομαστή. Ωστόσο, η βασική ιδέα παραμένει η ίδια με την προηγούμενη περίπτωση. Μπορούμε να εφαρμόσουμε και πάλι το κριτήριο λόγου ή ρίζας, καθώς η σειρά είναι της μορφής $(z - \xi)^{\nu+1}$, αλλά με πρόσθετο παρονομαστή. Αυτή η σειρά έχει ως ακτίνα σύγκλισης $R$, οπότε και εδώ ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος $\Delta(\xi; R)$.

3η Σειρά:

$\sum_{\nu=0}^{\infty} (\nu+1)^{\nu+1}(z - \xi)^{\nu+1}$

Αυτή η σειρά είναι διαφορετική από τις προηγούμενες, λόγω του όρου $(\nu+1)^{\nu+1}$ στον αριθμητή. Η σειρά αυτή παρουσιάζει μια εκθετική αύξηση στους όρους της, κάτι που σημαίνει ότι θα συγκλίνει μόνο όταν $z = \xi$. Δηλαδή, ο τόπος σύγκλισης είναι το μονοσύνολο $\{\xi\}$, αφού η σειρά δεν μπορεί να συγκλίνει για καμία άλλη τιμή του $z$.

4η Σειρά:

$\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu+1}}{(\nu+1)^{\nu+1}}$

Αυτή η σειρά είναι πιο σύνθετη, αλλά λόγω του όρου στον παρονομαστή $(\nu+1)^{\nu+1}$, οι όροι της μειώνονται πολύ γρήγορα καθώς η $\nu$ αυξάνεται. Μια τέτοια σειρά συνήθως συγκλίνει για κάθε $z \in \mathbb{C}$. Συνεπώς, ο τόπος σύγκλισης είναι όλο το σύνολο $\mathbb{C}$.

Συμπεράσματα:

• Ο τόπος σύγκλισης της πρώτης και της δεύτερης δυναμοσειράς είναι ο δίσκος $\Delta(\xi; R)$, όπου $R$ είναι η ακτίνα σύγκλισης.
• Ο τόπος σύγκλισης της τρίτης δυναμοσειράς είναι το μονοσύνολο $\{\xi\}$.
• Ο τόπος σύγκλισης της τέταρτης δυναμοσειράς είναι όλο το σύνολο των μιγαδικών αριθμών $\mathbb{C}$.

Θέλεις να συζητήσουμε τον υπολογισμό της ακτίνας σύγκλισης $R$; Αν ναι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο λόγου ή ρίζας.

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Πώς μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο λόγου για να βρούμε την ακτίνα σύγκλισης;
2. Τι είναι το κριτήριο ρίζας του Cauchy και πώς βοηθάει στον προσδιορισμό της ακτίνας σύγκλισης;
3. Ποια είναι η σημασία της ταχύτητας αύξησης των όρων σε μια δυναμοσειρά;
4. Πώς αλλάζει η συμπεριφορά μιας δυναμοσειράς όταν οι όροι περιλαμβάνουν εκθετικούς ή πολυωνυμικούς συντελεστές;
5. Μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα σύγκλισης χωρίς τη χρήση κριτηρίων όπως το κριτήριο λόγου ή ρίζας;

Συμβουλή:

Η ακτίνα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς μπορεί να υπολογιστεί με αρκετούς τρόπους, αλλά το κριτήριο λόγου είναι το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο και πολύ εύχρηστο στην πράξη.