Math Problem Statement
Μπορείς σε παρακαλώ να τη λύσεις με απλό επεξηγηματικό και κατανοητό τρόπο; «Ασκήσεις. Ο τόπος σύγκλισης των δυναμοσειρών
∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1
𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (−1)𝜈+1 (𝑧−𝜉)
𝜈+1
𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1
(𝜈+1)2 ∞ 𝜈=0
είναι ο δίσκος ∆(𝜉; 𝑅). Ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς
∑ (𝜈 + 1)𝜈+1(𝑧 − 𝜉)𝜈+1∞
𝜈=0
είναι το μονοσύνολο {𝜉}, ενώ ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς
∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1
(𝜈+1)𝜈+1 ∞ 𝜈=0
είναι όλο το ℂ.»
Solution
Ας προσπαθήσουμε να αναλύσουμε το πρόβλημα βήμα-βήμα. Ουσιαστικά, μας δίνονται διάφορες δυναμοσειρές και πρέπει να προσδιορίσουμε τον τόπο σύγκλισής τους. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκλισης για δυναμοσειρές. Ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος στον οποίο συγκλίνει η σειρά, και μπορούμε να τον βρούμε από την ακτίνα σύγκλισης .
Δυναμοσειρά 1:
Αυτή η σειρά είναι παρόμοια με τη γνωστή σειρά του λογαρίθμου. Για να βρούμε τον τόπο σύγκλισης της δυναμοσειράς, πρέπει να υπολογίσουμε την ακτίνα σύγκλισης. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την ακτίνα σύγκλισης:
Όμως, παρατηρούμε ότι τα . Έτσι, βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης είναι . Ο τόπος σύγκλισης λοιπόν είναι ο δίσκος , δηλαδή ο δίσκος με κέντρο το και ακτίνα .
Δυναμοσειρά 2: [
\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\nu + 1} (z - \xi)^{\
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Power Series
Convergence Radius
Complex Analysis
Formulas
Radius of Convergence: 1/R = lim sup (|a_ν|^(1/ν))
Power Series Representation: Σ (z - ξ)^(ν+1) / (ν+1)
Theorems
Logarithmic Series Convergence
Power Series Convergence Criteria
Suitable Grade Level
University-level Mathematics
Related Recommendation
Power Series Convergence and Radius for Complex Functions
Convergence and Analytic Continuation of a Power Series in Complex Analysis
Center and Radius of Convergence of a Power Series with Complex Coefficients
Understanding the Radius of Convergence in Power Series
Convergence of Power Series and Logarithmic Series in Complex Analysis