Math Problem Statement

Μπορείς σε παρακαλώ να τη λύσεις με απλό επεξηγηματικό και κατανοητό τρόπο; «Ασκήσεις. Ο τόπος σύγκλισης των δυναμοσειρών

∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1

𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (−1)𝜈+1 (𝑧−𝜉)

𝜈+1

𝜈+1 ∞ 𝜈=0 , ∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1

(𝜈+1)2 ∞ 𝜈=0

είναι ο δίσκος ∆(𝜉; 𝑅). Ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς

∑ (𝜈 + 1)𝜈+1(𝑧 − 𝜉)𝜈+1∞

𝜈=0

είναι το μονοσύνολο {𝜉}, ενώ ο τόπος σύγκλισης της δυναμοσειράς

∑ (𝑧−𝜉)𝜈+1

(𝜈+1)𝜈+1 ∞ 𝜈=0

είναι όλο το ℂ.»

Solution

Ας προσπαθήσουμε να αναλύσουμε το πρόβλημα βήμα-βήμα. Ουσιαστικά, μας δίνονται διάφορες δυναμοσειρές και πρέπει να προσδιορίσουμε τον τόπο σύγκλισής τους. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκλισης για δυναμοσειρές. Ο τόπος σύγκλισης είναι ο δίσκος στον οποίο συγκλίνει η σειρά, και μπορούμε να τον βρούμε από την ακτίνα σύγκλισης RR.

Δυναμοσειρά 1: ν=0(zξ)ν+1ν+1\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(z - \xi)^{\nu + 1}}{\nu + 1}

Αυτή η σειρά είναι παρόμοια με τη γνωστή σειρά του λογαρίθμου. Για να βρούμε τον τόπο σύγκλισης της δυναμοσειράς, πρέπει να υπολογίσουμε την ακτίνα σύγκλισης. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την ακτίνα σύγκλισης:

1R=lim supνaνν\frac{1}{R} = \limsup_{\nu \to \infty} \sqrt[\nu]{|a_\nu|}

Όμως, παρατηρούμε ότι τα aν=1ν+1a_\nu = \frac{1}{\nu + 1}. Έτσι, βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης είναι R=1R = 1. Ο τόπος σύγκλισης λοιπόν είναι ο δίσκος Δ(ξ;R)\Delta(\xi; R), δηλαδή ο δίσκος με κέντρο το ξ\xi και ακτίνα R=1R = 1.

Δυναμοσειρά 2: [

\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\nu + 1} (z - \xi)^{\

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Power Series
Convergence Radius
Complex Analysis

Formulas

Radius of Convergence: 1/R = lim sup (|a_ν|^(1/ν))
Power Series Representation: Σ (z - ξ)^(ν+1) / (ν+1)

Theorems

Logarithmic Series Convergence
Power Series Convergence Criteria

Suitable Grade Level

University-level Mathematics