已知5x＋7y＋2z=100，且x＜y＜z，求x、y、z的所有正整数解。

我们要解的方程是：

\[
5x + 7y + 2z = 100
\]

并且满足 \(x < y < z\) 且 \(x, y, z\) 都是正整数。为了找到所有满足条件的正整数解，我们可以通过枚举法来逐步缩小可能的解集。

### 步骤：
1. 首先，由于 \(x < y < z\)，可以先确定 \(z\) 的可能取值范围。因为 \(2z\) 对于大的 \(z\) 来说将占比较大比例，假设 \(z\) 从较小的值开始尝试，逐步减少。
2. 对于每个给定的 \(z\)，我们可以在条件下对 \(x\) 和 \(y\) 进行枚举，确保它们满足不等式 \(x < y < z\) 且满足方程 \(5x + 7y + 2z = 100\)。

接下来我们通过枚举逐步找到解。经过枚举，满足方程 \(5x + 7y + 2z = 100\) 且 \(x < y < z\) 的正整数解有以下 13 组：

\[
(3, 9, 11),\ (4, 8, 12),\ (5, 7, 13),\ (1, 9, 16),\ (2, 8, 17),
\]
\[
(3, 7, 18),\ (4, 6, 19),\ (1, 7, 23),\ (2, 6, 24),\ (3, 5, 25),
\]
\[
(1, 5, 30),\ (2, 4, 31),\ (1, 3, 37)
\]

这些都是满足条件的 \(x, y, z\) 正整数解。

你有需要进一步详细说明或有任何问题吗？

### 相关问题：
1. 如何用代数的方法简化这种类型的方程？
2. 如何分析此类不等式问题的解的范围？
3. 若方程中系数有所变化（如 \(5x + 7y + 3z = 100\)），如何处理？
4. 如果增加更多变量，如 \(5x + 7y + 2z + 3w = 100\)，如何求解？
5. 如果放松 \(x < y < z\) 的条件，仅要求正整数解，结果会如何变化？

### 提示：
通常对于不定方程，枚举法或系数因子的约束可以帮助快速缩小解的范围。

Explore how to find all positive integer solutions for the equation 5x + 7y + 2z = 100 under the constraint x < y < z. This detailed solution involves algebraic concepts like Diophantine equations and inequalities, suitable for students in Grades 10-12.

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