temukan posisi garis y =3×-1 terhadap lingkaran x² + y² + 2x +2y - 4 = 0

Untuk menemukan posisi garis \( y = 3x - 1 \) terhadap lingkaran yang memiliki persamaan \( x^2 + y^2 + 2x + 2y - 4 = 0 \), kita dapat menggunakan metode substitusi dan diskriminan kuadrat. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

### 1. Persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran tersebut dapat ditulis dalam bentuk standar dengan menyelesaikan kuadrat sempurna.

\[
x^2 + y^2 + 2x + 2y - 4 = 0
\]

Kelompokkan variabel \(x\) dan \(y\):

\[
(x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) = 4
\]

Selesaikan kuadrat sempurna untuk masing-masing variabel:

\[
(x + 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 = 4
\]

\[
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 6
\]

Jadi, persamaan lingkaran adalah:

\[
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = \sqrt{6}^2
\]

Ini adalah lingkaran dengan pusat di \( (-1, -1) \) dan jari-jari \( \sqrt{6} \).

### 2. Substitusi persamaan garis ke lingkaran
Substitusi persamaan garis \( y = 3x - 1 \) ke persamaan lingkaran \( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 6 \).

Persamaan garis: \( y = 3x - 1 \)

Substitusi \( y = 3x - 1 \) ke dalam \( (y + 1)^2 \):

\[
(x + 1)^2 + (3x - 1 + 1)^2 = 6
\]

\[
(x + 1)^2 + (3x)^2 = 6
\]

Hitung kuadrat:

\[
(x + 1)^2 + 9x^2 = 6
\]

\[
(x^2 + 2x + 1) + 9x^2 = 6
\]

\[
10x^2 + 2x + 1 = 6
\]

\[
10x^2 + 2x - 5 = 0
\]

### 3. Hitung diskriminan
Diskriminan dari persamaan kuadrat \( 10x^2 + 2x - 5 = 0 \) adalah:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Di sini \( a = 10 \), \( b = 2 \), dan \( c = -5 \).

\[
\Delta = 2^2 - 4(10)(-5)
\]

\[
\Delta = 4 + 200 = 204
\]

### 4. Interpretasi diskriminan
- Jika \( \Delta > 0 \), maka garis memotong lingkaran di dua titik.
- Jika \( \Delta = 0 \), maka garis menyinggung lingkaran.
- Jika \( \Delta < 0 \), maka garis tidak memotong lingkaran.

Karena \( \Delta = 204 \) (positif), maka garis \( y = 3x - 1 \) **memotong lingkaran di dua titik**.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau punya pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menghitung titik potong antara garis dan lingkaran?
2. Apa perbedaan antara garis menyinggung dan memotong lingkaran?
3. Bagaimana cara mengubah persamaan lingkaran ke bentuk standar?
4. Apakah ada cara lain untuk menentukan posisi garis terhadap lingkaran?
5. Bagaimana cara menggunakan diskriminan dalam konteks geometri analitik?

**Tip:** Diskriminan pada persamaan kuadrat sangat berguna untuk menentukan posisi relatif antara dua objek, seperti garis dan lingkaran.

temukan posisi garis y = 3x - 1 terhadap lingkaran x² + y² + 2x + 2y - 4 = 0

Learn how to find the position of the line y = 3x - 1 relative to the circle x² + y² + 2x + 2y - 4 = 0. This solution explains how to use the discriminant of a quadratic equation to determine whether the line intersects the circle in two points, touches it, or does not intersect at all. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation