Diketahui persamaan lingkaran:

$x^2 + y^2 + 2x - 6y + c = 0$

dan persamaan garis:

$y = 2x$

Untuk mencari nilai $c$ yang memenuhi kondisi bahwa lingkaran berpotongan dengan garis, kita substitusi persamaan garis $y = 2x$ ke dalam persamaan lingkaran.

Langkah-langkah:

1. Substitusi $y = 2x$ ke dalam persamaan lingkaran: $x^2 + (2x)^2 + 2x - 6(2x) + c = 0$

2. Sederhanakan persamaan: $x^2 + 4x^2 + 2x - 12x + c = 0$ $5x^2 - 10x + c = 0$

3. Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam $x$. Untuk lingkaran dan garis berpotongan, diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus bernilai nol (berpotongan di satu titik) atau lebih besar dari nol (berpotongan di dua titik). Diskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah $D = b^2 - 4ac$.

   Dari persamaan $5x^2 - 10x + c = 0$, koefisiennya adalah:

   • $a = 5$
   • $b = -10$
   • $c = c$

   Diskriminannya: $D = (-10)^2 - 4(5)(c) = 100 - 20c$

4. Agar garis dan lingkaran berpotongan, diskriminan $D \geq 0$: $100 - 20c \geq 0$ $100 \geq 20c$ $c \leq 5$

Jadi, nilai $c$ yang memenuhi agar lingkaran berpotongan dengan garis adalah $c \leq 5$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau memiliki pertanyaan lain terkait langkah-langkah ini?

---

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan titik potong antara lingkaran dan garis?
2. Apa arti diskriminan dalam persamaan kuadrat?
3. Apa yang terjadi jika $c > 5$ dalam kasus ini?
4. Bagaimana cara menemukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran?
5. Bagaimana jika garis sejajar dengan