Agar lingkaran 𝑥
2 + 𝑦
2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 𝑐 = 0 berpotongan dengan garis 𝑦 = 2𝑥, nilai 𝑐
yang memenuhi adalah

Diketahui persamaan lingkaran:

\[
x^2 + y^2 + 2x - 6y + c = 0
\]

dan persamaan garis:

\[
y = 2x
\]

Untuk mencari nilai \(c\) yang memenuhi kondisi bahwa lingkaran berpotongan dengan garis, kita substitusi persamaan garis \(y = 2x\) ke dalam persamaan lingkaran.

### Langkah-langkah:
1. Substitusi \(y = 2x\) ke dalam persamaan lingkaran:
   \[
   x^2 + (2x)^2 + 2x - 6(2x) + c = 0
   \]

2. Sederhanakan persamaan:
   \[
   x^2 + 4x^2 + 2x - 12x + c = 0
   \]
   \[
   5x^2 - 10x + c = 0
   \]

3. Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam \(x\). Untuk lingkaran dan garis berpotongan, diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus bernilai nol (berpotongan di satu titik) atau lebih besar dari nol (berpotongan di dua titik). Diskriminan dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) adalah \(D = b^2 - 4ac\).

   Dari persamaan \(5x^2 - 10x + c = 0\), koefisiennya adalah:
   - \(a = 5\)
   - \(b = -10\)
   - \(c = c\)

   Diskriminannya:
   \[
   D = (-10)^2 - 4(5)(c) = 100 - 20c
   \]

4. Agar garis dan lingkaran berpotongan, diskriminan \(D \geq 0\):
   \[
   100 - 20c \geq 0
   \]
   \[
   100 \geq 20c
   \]
   \[
   c \leq 5
   \]

Jadi, nilai \(c\) yang memenuhi agar lingkaran berpotongan dengan garis adalah \(c \leq 5\).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau memiliki pertanyaan lain terkait langkah-langkah ini?

---

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana cara menentukan titik potong antara lingkaran dan garis?
2. Apa arti diskriminan dalam persamaan kuadrat?
3. Apa yang terjadi jika \(c > 5\) dalam kasus ini?
4. Bagaimana cara menemukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran?
5. Bagaimana jika garis sejajar dengan

Agar lingkaran 𝑥^2 + 𝑦^2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 𝑐 = 0 berpotongan dengan garis 𝑦 = 2𝑥, nilai 𝑐 yang memenuhi adalah

Learn how to determine the value of c so that the circle x^2 + y^2 + 2x − 6y + c = 0 intersects with the line y = 2x. This problem involves substituting equations, simplifying expressions, and using the discriminant of a quadratic equation. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation