Montrer que (x eR):x^6-x^5+x^4-x^3+x²-x+3/4>0

Nous devons montrer que, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), l'inégalité suivante est vraie :

\[
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + \frac{3}{4} > 0
\]

### Étape 1 : Analyse des termes
Cette expression est un polynôme du 6ème degré avec des termes alternant entre positifs et négatifs. Nous avons :

\[
f(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + \frac{3}{4}
\]

### Étape 2 : Étude du comportement à l'infini
Le terme dominant est \( x^6 \), car c'est le terme de plus haut degré. À l'infini, \( x^6 \) domine les autres termes, donc :

- Quand \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).
- Quand \( x \to -\infty \), \( f(x) \to +\infty \), car \( x^6 \) est toujours positif (pour \( x \in \mathbb{R} \)).

Cela suggère que la fonction tend vers l'infini aux deux extrémités de la droite réelle.

### Étape 3 : Vérification pour \( x = 0 \)
Calculons la valeur de \( f(0) \) :

\[
f(0) = 0^6 - 0^5 + 0^4 - 0^3 + 0^2 - 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}
\]

Donc, \( f(0) = \frac{3}{4} > 0 \).

### Étape 4 : Étude du signe de la fonction
Nous allons maintenant examiner quelques valeurs spécifiques pour \( x \).

- Pour \( x = 1 \) :
  \[
  f(1) = 1^6 - 1^5 + 1^4 - 1^3 + 1^2 - 1 + \frac{3}{4} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}
  \]

  Donc, \( f(1) = \frac{3}{4} > 0 \).

- Pour \( x = -1 \) :
  \[
  f(-1) = (-1)^6 - (-1)^5 + (-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) + \frac{3}{4}
  \]
  \[
  = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \frac{3}{4} = 6 + \frac{3}{4} = 6.75
  \]

  Donc, \( f(-1) = 6.75 > 0 \).

### Étape 5 : Conclusion
La fonction \( f(x) \) est strictement positive pour \( x = 0 \), \( x = 1 \), et \( x = -1 \). De plus, comme \( x^6 \) domine aux grandes valeurs de \( x \), la fonction tend vers \( +\infty \) aux extrémités. Par conséquent, nous pouvons conclure que :

\[
f(x) > 0 \quad \text{pour tout} \quad x \in \mathbb{R}.
\]

L'inégalité est donc vérifiée.

---

Avez-vous des questions ou voulez-vous plus de détails ?

### Questions associées :
1. Comment peut-on déterminer les points critiques de \( f(x) \) ?
2. Comment prouver qu'une fonction est toujours positive sans calculer des valeurs spécifiques ?
3. Quelle est la méthode pour étudier le signe d'un polynôme de degré élevé ?
4. Peut-on simplifier ou factoriser le polynôme initial ?
5. Quelles sont les autres méthodes pour résoudre des inégalités polynomiales ?

### Astuce :
Lors de l'étude des polynômes de haut degré, il est souvent utile de commencer par observer le comportement aux limites (à l'infini).

Montrer que (x ∈ ℝ) : x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x² - x + 3/4 > 0

Learn how to prove that the polynomial x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x² - x + 3/4 is greater than zero for all real numbers. This detailed solution explores the end behavior of the polynomial and evaluates specific values to demonstrate positivity. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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